Faszination PI

Letztmalig dran rumgefummelt: 03.12.10 17:14:20

	Der griechische Buchstabe Pi - ein Kreis mit einem Durchmesser von 1 hat einen Umfang von π.Die Kreiszahl π (Pi) ist eine mathematische Konstante. Ihr Wert inklusive der ersten fünf Stellen ihrer Dezimalbruchentwicklung lässt sich wie folgt darstellen: Sie beschreibt in der Geometrie das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Dieses Verhältnis ist unabhängig von der Größe des Kreises. Die Kreiszahl wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben Pi (π) bezeichnet, dem Anfangsbuchstaben des griechischen Wortes περιφέρεια – periphereia (Randbereich) bzw. περίμετρος – perimetros (Umfang). Die Bezeichnung pi (π) erschien erstmals 1706 in dem Buch Synopsis palmariorum matheseos (Überblick über die Hauptwerke der [mathematischen] Wissenschaft. Oder: Eine neue Einführung in die Mathematik) des aus Wales stammenden Gelehrten William Jones. Die Kreiszahl π wird auch Archimedes-Konstante und nach Ludolph van Ceulen Ludolphsche Zahl genannt. Mathematische Grunddaten Es existieren mehrere gleichwertige Definitionen für die Kreiszahl π. Gebräuchlich ist etwa die Festlegung als das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser oder die Fläche eines Kreises mit dem Radius 1. In der Analysis ist es zweckmäßiger, zunächst den Kosinus über seine Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus (nach Edmund Landau). Irrationalität und Transzendenz Die Zahl π ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen, also als Bruch dargestellt werden kann. Dies wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen. Tatsächlich ist die Zahl sogar transzendent. Dies bedeutet, dass es kein Polynom endlichen Grades mit rationalen Koeffizienten gibt, das in π eine Nullstelle hat. Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, π nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken. Die Transzendenz von π wurde von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen. Eine Folge davon ist unter anderem, dass die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal allein nicht möglich ist. Häufig liest man die (unzutreffende) Behauptung, damit sei gezeigt, dass die Quadratur des Kreises nicht möglich sei. Mit zusätzlichen Hilfsmitteln (im Gegensatz zu lediglich Zirkel und Lineal) ist die Quadratur des Kreises jedoch möglich (wenn beispielsweise zwei zusätzliche Markierungen mit Abstand π auf dem Lineal vorhanden sind). Da π beliebig gut durch rationale Zahlen approximiert werden kann, lässt sich die Kreiszahl beliebig gut sowohl durch Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten annähern (es genügen nämlich solche ersten Grades), als auch durch Konstruktionsverfahren, die nur Zirkel und Lineal verwenden (alle rationalen Zahlen lassen sich nämlich mit Zirkel und Lineal allein konstruieren). Da π eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit Da π eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit. (Anmerkung: Der angegebene Wert ist nicht π auf 100 Nachkommastellen gerundet. In der Zahlentheorie wird prinzipiell nicht gerundet, das ist nur bei konkreten physikalischen Messungen und ähnlichen Gebieten der angewandten Mathematik von Belang.) Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da π irrational ist, ist auch diese Darstellung unendlich lang. Im Gegensatz zur Eulerschen Zahl e konnten aber bislang bei der (regulären) Kettenbruchdarstellung von π keinerlei Regelmäßigkeiten festgestellt werden. Die Genauigkeit von 200 dezimalen Nachkommastellen erhält man mit 194 Teilnennern: π = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, 13, 1, 4, 2, 6, 6, 99, 1, 2, 2, 6, 3, 5, 1, 1, 6, 8, 1, 7, 1, 2, 3, 7, 1, 2, 1, 1, 12, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 2, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 16, 1, 161, 45, 1, 22, 1, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 24, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 10, 2, 5, 4, 1, 2, 2, 8, 1, 5, 2, 2, 26, 1, 4, 1, 1, 8, 2, 42, 2, 1, 7, 3, 3, 1, 1, 7, 2, 4, 9, 7, 2, 3, 1, 57, 1, 18, 1, 9, 19, 1, 2, 18, 1, 3, 7, 30, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 1, 2, 8, 1, 1, 2, 1, 15, 1, 2, 13, 1, 2, 1, 4, 1, 12, 1, 1, 3, 3, 28, 1, 10, 3, 2, 20, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 5, 3, 2, 1, 6, 1, 4, …] Anmerkung: "... wäre Pi gleich drei, so wäre der Kreis ein Sechseck!"    ;-)
	1. Problembeschreibung 2. Hintergründe und Zusammenhänge - Einordnung in Klassen 3. Lösungsalgorithmen 4. Programmvorschläge 5. Zusammenfassung 6. Weiterführende Informationen 7. Linkliste zum Thema 8. Verwandte Themen
	mathematischen Ansätze der Informatik Probleme & Problemlösungsverfahren Logo für π begrenzt verwendbar - selbst aufpassen, ab welcher Stelle es Blödsinn wird ;-) Informatik-Profi-Wissen
	Quellen: LOG IN - Heft 4/1995 Seite 78

1. Problembeschreibung

PI hat neben der Mathematik auch die Kunst inspiriert - zahlreiche Beispiele legen davon Kunde ab

Pi Sweet and gentle sensitive man With an obsessive nature and deep fascination For numbers And a complete infatuation with the calculation Of PI Oh he love, he love, he love He does love his numbers And they run, they run, they run him In a great big circle In a circle of infinity 3.1415926535 897932 3846 264 338 3279 Oh he love, he love, he love He does love his numbers And they run, they run, they run him In a great big circle In a circle of infinity But he must, he must, he must Put a number to it 50288419 716939937510 582319749 44 59230781 6406286208 821 4808651 32 Oh he love, he love, he love He does love his numbers And they run, they run, they run him In a great big circle In a circle of infinity 82306647 0938446095 505 8223

2. Hintergründe, Zusammenhänge - Einordnung in Klassen

3. Lösungsalgorithmus

4. Programmvorschläge

	Entstanden im Kursunterricht der Jahrgangsstufe 12 des Schuljahres 2007/08 ist dieser Vorschlage, welcher in sich schon recht effizient und somit auch hinreichend schnell arbeitet. Bedingt durch die progressiv ansteigende Zahl komplexer Berechnungen sowie Vergleichsoperationen kann die Rechenzeit sehr groß werden.
	Finden der Polynomzahlen mit Delphi

5. Zusammenfassung

6. Weiterführende Informationen

	War 'ne tolle Sache (zumindest für mich als Lehrer), einmal ein Schuljahr lang mit Schülern über doch die Grenzen von Programmiersprachen tangierende Probleme zu diskutieren, diese auszuloten, Algorithmen zu finden und wieder wegzuwerfen. Dümmer geworden ist dabei wahrscheinlich keine der betroffenen Seiten, die Schüler werden's teilweise einige Monate später an Universitäten bemerken ;-) Alles war im Rahmen des Möglichen: es anstrengend (was es ja sein soll), aber machbar - unten kann man einige Ergebnisse einsehen. Alles, was präsentiert wird, ist Wissensstand  Juni 2008 ;-)
	die Primzahl-Zwillingssuche der Kaprekar Algorithmus das 153-Problem - Narziß-Zahlen das Autoquadratzahlenproblem die Schmidtzahlen Pythagoräische Tripel Ulam-Spirale die befreundeten Zahlen Pascal-Zahlen die Goldbach-Vermutung das Palindrom Spiegelsummen-Problem die Perfect Numbers
	die Zahlenteiler GGT KGV   die Primzahlsuche - zumindest die ersten Beschreibungen sind trivial ;-) die Pseudoprimzahlen Quersummenermittlung Primzahlfaktorisierung

7. Links zum Thema

8. Verwandte Themen

	Das Vorangestellte hilft wirtschaften, löst jedoch kein einziges Problem (allerdings ohne Beachtung der Worst-Case-Strategien wird man auch nicht erfolgreich Software entwickeln und/oder informatische Projekte realisieren können). Deshalb nunmehr das, was wirklich Arbeiten hilft.
	das 8-Dame-Problem des Cliquen-Problem Domino-Problem das Entscheidbarkeitsproblem das Erfüllbarkeitsproblem die Fibonacci-Zahlen das Flaggenproblem das Halteproblem das Hamilton-Problem das K-Farben-Problem der Kaprekar-Algorithmus die Magischen Quadrate das PASCAL'sche Dreiecksproblem das Philosophenproblem das Königsberger-Brückenproblem das Post'schen Korrespondenzproblem das Rundreiseproblem das Springer-Problem die Türme von Hanoi das Wortproblem das Wüstenfit-Problem das 153-Problem
	Worst-Case-Denken Algorithmentheorie Komplexität, Mächtigkeit und Aufwand Praktische Elementaralgorithmen Lösbarkeit und Problemlösungsstrategien Klassische algorithmisch lösbare Probleme Zufall und Computer Graphentheorie Petri-Netze
	Informationsbegriff Logo für die Signale Nachrichten Wissen Systembegriff Modellbegriff Simulation Denken und Sprache Zahlen, Daten und Datentypen Gegenläufigkeit und Verklemmung Pattern-Matching

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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha

© Frank Rost am 13. April 2010 um 19.04 Uhr