Magische Quadrate - eine Ausarbeitung von Stefan Hecker im Schuljahr 2001/02 history menue Letztmalig dran rumgefummelt: 09.12.07 15:03:47

Stefan hat mit seiner Belegarbeit gezeigt, was man aus Informatik und Programmierung in der Jahrgangsstufe 11 alles machen kann. Diese Arbeit darf auch gern getoppt werden ;-)  - was allerdings nicht ganz einfach sein dürfte. Weiterführende Nutzung liegt bei Stefan Hecker - nutzen Sie bitte diesen Kontakt
1. Definition
2. Historische Bedeutung
3. Beispiele
4. Algorithmen und Bildungsvorschriften
5. Das Programm
6. Downloadbereich
7. Links zum Thema
8. Verwandte Themen

Probleme & Problemlösungsverfahren

Logo für die Magischen Quadrate

Informatik-Profi-Wissen
Quellen:
die Copyrights liegen bei Stefan Hecker sowie beim Gymnasium Flöha  ;-)

1. Definition history menue scroll up

Ein Magisches Quadrat ist eine geometrische Anordnung von Zahlen in einem Quadrat, in dem die Zahlen in einer Zeile, in einer Spalte oder in einer Diagonale immer die gleiche Summe bilden. SUDOKUs sind die moderne und für alle beherrschbare Form der magischen Quadrate.
 
2 9 4
7 5 3
6 1 8

.

2 + 9 + 4 = 15
7 + 5 + 3 = 15
6 + 1 + 8 = 15		 2 + 7 + 6 = 15
9 + 5 + 1 = 15
4 + 3 + 8 = 15		 2 + 5 + 8 = 15
4 + 5 + 6 = 15

Das 3 ´ 3 Quadrat ist das kleinste mögliche Magische Quadrat. Alle Zahlen auf einer Zeile, Spalte und Diagonalen ergeben addiert 15
was ein magisches Quadrat auszeichnet ...

2. Historische Bedeutung history menue scroll up

Seit jeher wurden die Menschen von diesen und anderen Magsichen Quadraten fasziniert.

Einer alten chinesischen Legende zufolge soll rund 3.000 vor Christus eine Schildkröte aus dem legendären Fluss Lo aufgetaucht sein, die eine seltsame Anordnung von Zahlen auf dem Rücken hatte. Die Zahlen von 1 bis 9 waren in einem Quadrat so angeordnet, dass drei Zahlen einer Zeile, einer Spalte oder einer Diagonale genau 15 ergaben.
 

Das älteste bekannte magische Quadrat geht auf den Kaiser Loh-Shu zurück, der ungefähr um 2800 v. Chr. in China gelebt hat. In der Orginaldarstellung werden die ungeraden Zahlen durch weiße Punkte (den Yang Symbolen) dargestellt und repräsentieren den Himmel, während die geraden Zahlen als schwarze Punkte (den Yin Symbolen) dargestellt sind, dem Symbol der Erde.
 

Auch auf einem Bild von Albrecht Dürer war ein Magisches Quadrat der Größe vier mal vier zu finden. Das besondere daran war, dass die beiden Zahlen unten in der Mitte 1514, das Jahr, in dem das Bild gemalt wurde, ergaben.
 

In einem Rechenbuch von Franciscus Brasser fand man ein Magisches Quadrat mit der Seitenlänge 9 dessen Zahlen sich vertikal, horizontal und diagonal zu 1530 addierten.
 

In den Aufzeichnungen von Arnold Möller fand man ein Magisches Quadrat mit der Seitenlänge 3 aus dem Jahr 1617, das aus den Zahlen von 17 bis 25 bestand, die auf einem Rad angeordnet waren.

3. Demonstrationsbeispiele history menue scroll up

Die folgenden Magischen Quadrate wurden mit dem Delphi-Programm erstellt. Es sind Standardqudarate mit den Zahlen von 1 bis zum Quadrat der Seitenlänge.

2 9 4
7 5 3
6 1 8

 

Seitenlänge: 3
Seitensumme: 15

16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1

 

Seitenlänge: 4
Seitensumme: 34

3 20 7 24 11
16 8 25 12 4
9 21 13 5 17
22 14 1 18 10
15 2 19 6 23

 

Seitenlänge: 5
Seitensumme: 65

29 9 4 20 27 22
7 32 3 25 23 21
33 1 8 24 19 26
2 36 31 11 18 13
34 5 30 16 14 12
6 28 35 15 10 17

 

Seitenlänge: 6
Seitensumme: 111

4 35 10 41 16 47 22
29 11 42 17 48 23 5
12 36 18 49 24 6 30
37 19 43 25 7 31 13
20 44 26 1 32 14 38
45 27 2 33 8 39 21
28 3 34 9 40 15 46

 

 
64 63 3 4 5 6 58 57
56 55 11 12 13 14 50 49
17 18 46 45 44 43 23 24
25 26 38 37 36 35 31 32
33 34 30 29 28 27 39 40
41 42 22 21 20 19 47 48
16 15 51 52 53 54 10 9
8 7 59 60 61 62 2 1

Seitenlänge: 8
Seitensumme: 260

Die nächsten Quadrate wurden aus einem Magischen 5x5 Quadrat durch Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren erstellt.

13 30 17 34 21
26 18 35 22 14
19 31 23 15 27
32 24 11 28 20
25 12 29 16 33

 

Addiert: 10
Multipliziert: 1
Seitensumme: 115

9 60 21 72 33
48 24 75 36 12
27 63 39 15 51
66 42 3 54 30
45 6 57 18 69

 

Addiert: 0
Multipliziert: 3
Seitensumme: 195

25 110 45 130 65
90 50 135 70 30
55 115 75 35 95
120 80 15 100 60
85 20 105 40 125

 

Addiert: 10
Multipliziert: 5
Seitensumme: 375

-20 14 -12 22 -4
6 -10 24 -2 -18
-8 16 0 -16 8
18 2 -24 10 -6
4 -22 12 -14 20

 

Addiert: -26
Multipliziert: 2
Seitensumme: 0

Es folgen jetzt noch einige spezielle Magische Quadrate, die nicht mit dem Delphi-Programm erstellt werden können.

Eine besondere Art von Magischen Quadraten sind pandiagonale Magische Quadrate. Das bedeutet, dass sämtliche Diagonalen auch immer die Seitensumme ergeben. Wie unten gezeigt wird, erreicht man die unterschiedlichen Diagonalen durch Verschieben der ersten Zeilen ans Ende. Dabei ändern sich Vertikale und Horizontale Summen nicht, nur die Zahlen, die die Diagonale bilden ändern sich.

18 22 10 14 1
9 11 3 17 25
2 20 24 6 13
21 8 12 5 19
15 4 16 23 7
9 11 3 17 25
2 20 24 6 13
21 8 12 5 19
15 4 16 23 7
18 22 10 14 1
2 20 24 6 13
21 8 12 5 19
15 4 16 23 7
18 22 10 14 1
9 11 3 17 25
21 8 12 5 19
15 4 16 23 7
18 22 10 14 1
9 11 3 17 25
2 20 24 6 13
15 4 16 23 7
18 22 10 14 1
9 11 3 17 25
2 20 24 6 13
21 8 12 5 19

Eine weitere Besonderheit von Magischen Quadraten ist, dass sie konzentrisch sind. Das heißt, wenn man den Rahmen um das Quadrat abschneidet, bleibt das Quadrat magisch, es besteht dann aber eben nicht mehr aus den Zahlen von 1 bis zum Quadrat der Seitenlänge, sondern nur noch aus aufeinander folgenden Zahlen. Zieht man von diesen Zahlen aber einen bestimmten Wert ab, so erhält man wieder ein Magisches Quadrat mit den Zahlen von 1 bis zum Quadrat der Seitenlänge.

1 142 141 140 139 138 129 11 10 9 8 2
12 23 120 119 118 117 112 29 31 32 24 133
15 39 41 102 101 100 99 47 48 42 106 130
18 36 49 55 88 87 86 63 56 96 109 127
19 40 52 83 65 72 74 79 62 93 105 126
22 30 54 84 76 77 67 70 61 91 115 123
132 110 95 60 71 66 80 73 85 50 35 13
131 107 94 64 78 75 69 68 81 51 38 14
128 111 92 89 57 58 59 82 90 53 34 17
125 108 103 43 44 45 46 98 97 104 37 20
124 121 25 26 27 28 33 116 114 113 122 21
143 3 4 5 6 7 16 134 135 136 137 144

Eine besondere Art von Magischen Quadraten sind die Bi- und Trimagischen Quadrate. Das bedeutet: Quadriert man ein Magisches Quadrat, so bleibt es immer noch magisch.

Das folgende Magische Quadrat ist bimagisch.

63 12 22 33 7 52 46 25
24 35 61 10 48 27 5 50
37 18 16 59 29 42 56 3
14 57 39 20 54 1 31 44
58 13 19 40 2 53 43 32
17 38 60 15 41 30 4 55
36 23 9 62 28 47 49 6
11 64 34 21 51 8 26 45

Dieses Quadrat besteht aus den Zahlen von 1 bis 64 und hat die Seitensumme 260.

3969 144 484 1089 49 2704 2116 625
576 1225 3721 100 2304 729 25 2500
1369 324 256 3481 841 1764 3136 9
196 3249 1521 400 2916 1 961 1936
3364 169 361 1600 4 2809 1849 1024
289 1444 3600 225 1681 900 16 3025
1296 529 81 3844 784 2209 2401 36
121 4096 1156 441 2601 64 676 2025

Dieses Quadrat besteht aus den Quadratzahlen von 1 bis 4096 und hat die Seitensumme 11180.

Das folgende Magische Quadrat ist das kleinste Trimagische Quadrat. Es hat die Seitensumme 16400.

2 831 1017 200 899 190 124 837 738 479 281 552 355 606 668 421 23 810 1008 209 918 171 109 852 759 458 272 561 374 587 653 436
59 774 964 253 954 135 65 896 731 486 292 541 346 615 673 416 46 787 981 236 943 146 88 873 718 499 309 524 335 626 696 393
931 158 92 869 34 799 985 232 323 638 700 389 706 511 313 520 950 139 77 884 55 778 976 241 342 619 685 404 727 490 304 529
922 167 97 864 27 806 996 221 378 583 641 448 763 454 260 573 911 178 120 841 14 819 1013 204 367 594 664 425 750 467 277 556
800 33 231 986 157 932 870 91 512 705 519 314 637 324 390 699 777 56 242 975 140 949 883 78 489 728 530 303 620 341 403 686
805 28 222 995 168 921 863 98 453 764 574 259 584 377 447 642 820 13 203 1014 177 912 842 119 468 749 555 278 593 368 426 663
189 900 838 123 832 1 199 1018 605 356 422 667 480 737 551 282 172 917 851 110 809 24 210 1007 588 373 435 654 457 760 562 271
136 953 895 66 773 60 254 963 616 345 415 674 485 732 542 291 145 944 874 87 788 45 235 982 625 336 394 695 500 717 523 310
279 554 752 465 662 427 365 596 1015 202 16 817 118 843 909 180 258 575 761 456 643 446 380 581 994 223 25 808 99 862 924 165
302 531 725 492 687 402 344 617 974 243 53 780 79 882 952 137 315 518 708 509 698 391 321 640 987 230 36 797 90 871 929 160
694 395 333 628 311 522 720 497 86 875 941 148 983 234 48 785 675 414 348 613 290 543 729 488 67 894 956 133 962 255 57 776
655 434 376 585 270 563 757 460 111 850 920 169 1006 211 21 812 666 423 353 608 283 550 740 477 122 839 897 192 1019 198 4 829
521 312 498 719 396 693 627 334 233 984 786 47 876 85 147 942 544 289 487 730 413 676 614 347 256 961 775 58 893 68 134 955
564 269 459 758 433 656 586 375 212 1005 811 22 849 112 170 919 549 284 478 739 424 665 607 354 197 1020 830 3 840 121 191 898
428 661 595 366 553 280 466 751 844 117 179 910 201 1016 818 15 445 644 582 379 576 257 455 762 861 100 166 923 224 993 807 26
401 688 618 343 532 301 491 726 881 80 138 951 244 973 779 54 392 697 639 322 517 316 510 707 872 89 159 930 229 988 798 35
746 471 273 560 363 598 660 429 10 823 1009 208 907 182 116 845 767 450 264 569 382 579 645 444 31 802 1000 217 926 163 101 860
723 494 300 533 338 623 681 408 51 782 972 245 946 143 73 888 710 507 317 516 327 634 704 385 38 795 989 228 935 154 96 865
331 630 692 397 714 503 305 528 939 150 84 877 42 791 977 240 350 611 677 412 735 482 296 537 958 131 69 892 63 770 968 249
370 591 649 440 755 462 268 565 914 175 105 856 19 814 1004 213 359 602 672 417 742 475 285 548 903 186 128 833 6 827 1021 196
504 713 527 306 629 332 398 691 792 41 239 978 149 940 878 83 481 736 538 295 612 349 411 678 769 64 250 967 132 957 891 70
461 756 566 267 592 369 439 650 813 20 214 1003 176 913 855 106 476 741 547 286 601 360 418 671 828 5 195 1022 185 904 834 127
597 364 430 659 472 745 559 274 181 908 846 115 824 9 207 1010 580 381 443 646 449 768 570 263 164 925 859 102 801 32 218 999
624 337 407 682 493 724 534 299 144 945 887 74 781 52 246 971 633 328 386 703 508 709 515 318 153 936 866 95 796 37 227 990
1023 194 8 825 126 835 901 188 287 546 744 473 670 419 357 604 1002 215 17 816 107 854 916 173 266 567 753 464 651 438 372 589
966 251 61 772 71 890 960 129 294 539 733 484 679 410 352 609 979 238 44 789 82 879 937 152 307 526 716 501 690 399 329 632
94 867 933 156 991 226 40 793 702 387 325 636 319 514 712 505 75 886 948 141 970 247 49 784 683 406 340 621 298 535 721 496
103 858 928 161 998 219 29 804 647 442 384 577 262 571 765 452 114 847 905 184 1011 206 12 821 658 431 361 600 275 558 748 469
225 992 794 39 868 93 155 934 513 320 506 711 388 701 635 326 248 969 783 50 885 76 142 947 536 297 495 722 405 684 622 339
220 997 803 30 857 104 162 927 572 261 451 766 441 648 578 383 205 1012 822 11 848 113 183 906 557 276 470 747 432 657 599 362
836 125 187 902 193 1024 826 7 420 669 603 358 545 288 474 743 853 108 174 915 216 1001 815 18 437 652 590 371 568 265 463 754
889 72 130 959 252 965 771 62 409 680 610 351 540 293 483 734 880 81 151 938 237 980 790 43 400 689 631 330 525 308 502 715

Quadriert man das Ausgangsquadrat, so erhält man ein Magisches Quadrat, das aus den Quadratzahlen besteht. Es hat die Seitensumme 8606720000.

4 690561 1034289 40000 808201 36100 15376 700569 544644 229441 78961 304704 126025 367236 446224 177241 529 656100 1016064 43681 842724 29241 11881 725904 576081 209764 73984 314721 139876 344569 426409 190096
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429025 188356 141376 342225 72900 316969 573049 211600 12321 722500 846400 28561 1012036 44521 441 659344 443556 178929 124609 369664 80089 302500 547600 227529 14884 703921 804609 36864 1038361 39204 16 687241
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8836 751689 870489 24336 982081 51076 1600 628849 492804 149769 105625 404496 101761 264196 506944 255025 5625 784996 898704 19881 940900 61009 2401 614656 466489 164836 115600 385641 88804 286225 519841 246016
10609 736164 861184 25921 996004 47961 841 646416 418609 195364 147456 332929 68644 326041 585225 204304 12996 717409 819025 33856 1022121 42436 144 674041 432964 185761 130321 360000 75625 311364 559504 219961
50625 984064 630436 1521 753424 8649 24025 872356 263169 102400 256036 505521 150544 491401 403225 106276 61504 938961 613089 2500 783225 5776 20164 896809 287296 88209 245025 521284 164025 467856 386884 114921
48400 994009 644809 900 734449 10816 26244 859329 327184 68121 203401 586756 194481 419904 334084 146689 42025 1024144 675684 121 719104 12769 33489 820836 310249 76176 220900 558009 186624 431649 358801 131044
698896 15625 34969 813604 37249 1048576 682276 49 176400 447561 363609 128164 297025 82944 224676 552049 727609 11664 30276 837225 46656 1002001 664225 324 190969 425104 348100 137641 322624 70225 214369 568516
790321 5184 16900 919681 63504 931225 594441 3844 167281 462400 372100 123201 291600 85849 233289 538756 774400 6561 22801 879844 56169 960400 624100 1849 160000 474721 398161 108900 275625 94864 252004 511225

 

Kubiziert man das Ausgangsquadrat, so erhält man ein Magisches Quadrat, das aus den Kubikzahlen besteht. Es hat die Seitensumme 11201200

 

8 573856191 1051871913 8000000 726572699 6859000 1906624 586376253 401947272 109902239 22188041 168196608 44738875 222545016 298077632 74618461 12167 531441000 1024192512 9129329 773620632 5000211 1295029 618470208 437245479 96071912 20123648 176558481 52313624 202262003 278445077 82881856
205379 463684824 895841344 16194277 868250664 2460375 274625 719323136 390617891 114791256 24897088 158340421 41421736 232608375 304821217 71991296 97336 487443403 944076141 13144256 838561807 3112136 681472 665338617 370146232 124251499 29503629 143877824 37595375 245314376 337153536 60698457
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4. Algorithmen und Bildungsvorschriften history menue scroll up

 
Ungerade Seitenlänge
Doppelt gerade Kantenlänge
Gerade Seitenlänge
Bestimmung der Seitensumme
Addition und Subtraktion auf den Seiten
Multiplkation auf den Seiten
Rotieren und Spiegeln der Seiten

5. Programmbeschreibung history menue scroll up

 
der Deklarationsteil
Eingabeparameter
weitere wichtige Algorithmen zur Berechnung
Programmoberfläche
Quelltext
Benutzerführung
Ausgabeprozeduren
Testprozeduren

6. Downloadbereich history menue scroll up

 
Gesamtes Delphiprojekt als Zip-Datei komprimiert (219K) Download starten
nur Programm-Datei (*.EXE) (412K) Download starten
Programm-Datei als Zip-Datei komprimiert (213K) Download starten
Original-Belegarbeit "Magische Quadrate" mit Delphi als Zip-Datei komprimiert (916K) Download starten

7. Links zum Thema history menue scroll up

 
http://www.magic-squares.de
http://www.feng-shui.de
http://www.informatik.uni-hamburg.de/bib/ausstellung/Tafel01.html

8. Verwandte Themen history menue scroll up

Das Vorangestellte hilft wirtschaften, löst jedoch kein einziges Problem (allerdings ohne Beachtung der Worst-Case-Strategien wird man auch nicht erfolgreich Software entwickeln und/oder informatische Projekte realisieren können). Deshalb nunmehr das, was wirklich Arbeiten hilft.

das 8-Dame-Problem

des Cliquen-Problem

Domino-Problem

das Entscheidbarkeitsproblem

das Erfüllbarkeitsproblem

die Fibonacci-Zahlen

das Flaggenproblem

das Halteproblem

das Hamilton-Problem

das K-Farben-Problem

das Königsberger-Brückenproblem

 

das PASCAL'sche Dreiecksproblem

das Philosophenproblem

der Kaprekar-Algorithmus

das Post'schen Korrespondenzproblem

das Rucksackproblem

das Rundreiseproblem

das Springer-Problem

die Türme von Hanoi

das Wortproblem

das Wüstenfit-Problem

Worst-Case-Denken

Algorithmentheorie

Komplexität, Mächtigkeit und Aufwand

Praktische Elementaralgorithmen

Lösbarkeit und Problemlösungsstrategien

Klassische algorithmisch lösbare Probleme

Zufall und Computer

Graphentheorie

Petri-Netze

Informationsbegriff

Logo für die Signale

Nachrichten

Wissen

Systembegriff

Modellbegriff

Simulation

Denken und Sprache

Zahlen, Daten und Datentypen

Gegenläufigkeit und Verklemmung

Pattern-Matching

  


zur Hauptseite		 © Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha © Frank Rost März 2002

... dieser Text wurde nach den Regeln irgendeiner Rechtschreibreform verfasst - ich hab' irgendwann einmal beschlossen, an diesem Zirkus nicht mehr teilzunehmen ;-)

„Dieses Land braucht eine Steuerreform, dieses Land braucht eine Rentenreform - wir schreiben Schiffahrt mit drei „f“!“

Diddi Hallervorden, dt. Komiker und Kabarettist

Diese Seite wurde ohne Zusatz irgendwelcher Konversationsstoffe erstellt ;-)