Multiplizieren
Gesetzt den Fall, man möchte nun einmal in ein Magisches Quadrat mit der Seitenlänge 5 nicht die Zahlen von 1 bis 25, sondern alle Zahlen, die durch 3 teilbar sind, also 3, 6, 9, 12 bis 75, eintragen. Dazu kann man den gleichen Algorithmus verwenden. Denn durch das Multiplizieren mit 3 ändert sich zwar die Seitensumme, aber alle 5 Felder, die sich zu einer Seitensumme addieren, werden mit dem gleichen Betrag multipliziert. Wegen dem Distributivgesetz bleibt das Magische Quadrat an sich magisch.
|
3
|
20
|
7
|
24
|
11
|
|
16
|
8
|
25
|
12
|
4
|
|
9
|
21
|
13
|
5
|
17
|
|
22
|
14
|
1
|
18
|
10
|
|
15
|
2
|
19
|
6
|
23
|
|
|
3 x 3
|
20 x 3
|
7 x 3
|
24 x 3
|
11 x 3
|
|
16 x 3
|
8 x 3
|
25 x 3
|
12 x 3
|
4 x 3
|
|
9 x 3
|
21 x 3
|
13 x 3
|
5 x 3
|
17 x 3
|
|
22 x 3
|
14 x 3
|
1 x 3
|
18 x 3
|
10 x 3
|
|
15 x 3
|
2 x 3
|
19 x 3
|
6 x 3
|
23 x 3
|
|
|
9
|
60
|
21
|
72
|
33
|
|
48
|
24
|
75
|
36
|
12
|
|
27
|
63
|
39
|
15
|
51
|
|
66
|
42
|
3
|
54
|
30
|
|
45
|
6
|
57
|
18
|
69
|
|
Zu gleich ist auch ersichtlich, dass man die allgemeine Formel für die Seitensumme nur geringfügig ändern muss. Jeder Wert wird mit einer Konstanten d multipliziert. Aufgrund des Distributivgesetzes muss also nur die bisherige Summe mit d multiplizieren. Man erhält:
Ss = a1 + a2 + a3 + ... + an = 0,5 n (n² + 1)
dSs = da1 + da2 + da3 + ... + dan = 0,5 dn (n² + 1)
Mit dem Multiplizieren wird die Vielzahl der möglichen Magischen Quadrate noch einmal stark vergrößert. Dividieren ist wenig sinnvoll, da meistens Brüche entstehen und keine natürlichen Zahlen.
Kombiniert man nun die Addieren, Subtrahieren mit Multiplizieren, so muss man die Reihenfolge der durchgeführten Operationen festlegen. Es ist aber einfacher, wenn erst multipliziert und dann addiert wird. Multipliziert man mit d und addiert man danach mit c, dann sieht die Summenformel folgendermaßen aus:
Ss = 0,5 dn (n² + 1) + cn
Setzt man den Summanden c auf 0, so fällt cn weg, setzt man den Faktor d auf 1, so fällt dieser Faktor nicht ins Gewicht. Setzt man c auf 0 und d auf 1, so erhält man die standardmäßige Besetzung des Magischen Quadrates mit den Zahlen von 1 bis zum Quadrat der Seitenlänge in 1er-Schritten.
Um das Zusammenwirken von Faktoren und Summanden zu veranschaulichen, kann man ein Magisches 5x5 Quadrat erstellen, dessen Zahlen mit 100 multiplizieren und dann noch 2 abziehen.
| 298 |
1998 |
698 |
2398 |
1098 |
| 1598 |
798 |
2498 |
1198 |
398 |
| 898 |
2098 |
1298 |
498 |
1698 |
| 2198 |
1398 |
98 |
1798 |
998 |
| 1498 |
198 |
1898 |
598 |
2298 |
In der allgemeinen Summenformel ist d = 100 und c = -2.
Ss = 0,5 dn (n² + 1) + cn = 0,5 x 100 x 5 (5² + 1) + (-2) x 5 = 6490