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Laplace-Versuche sind
Zufallsversuche, bei denen alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind, man
nennt sie deshalb auch LAPLACE-VERSUCHE. Bei einem solchen Versuch mit n
möglichen Ergebnissen ist die Wahrscheinlichkeit eines jeden Ergebnisses
gleich n.
Beispiel: Werfen einer Münze -
Ergebnisse können hier sein: Wappen oder Zahl Ergebnismenge S = {Wappen, Zahl} |
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Zufallsexperimente mit der Ergebnismenge S |
| Würfeln mit einem Würfel |
1, 2 ,3 ,4 ,5 oder 6 |
{1,2,3,4,5,6} |
| Werfen einer Reißzwecke |
Spitze nach oben oder Spitze zur Seite |
{Spitze nach oben; Spitze Seite} |
| Aufforderung zum Tanz |
Korb oder Erfolgserlebnis |
{Korb; Erfolgserlebnis} |
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Ein Würfel und eine Münze werden gleichzeitig geworfen. Schreibe alle
möglichen Ergebnisse auf (es gelten W für "Wappen" & Z für "Zahl")!
Dann gilt:
S = {(1,W); (2,W); (3,W);(4,W); (5,W);(6,W); (1,Z); (2,Z); (3,Z);(4,Z);
(5,Z);(6,Z)} |
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Es wird ein roter und ein blauer Würfel geworfen. Gib die Ergebnismenge
an!
| S = { |
(1 ,1);(1,2) (1,3);(1,4) (1,5);(1,6); |
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(2,1);(2,2) (2,3);(2,4) (2,5);(2,6); |
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(3,1);(3,2) (3,3);(3,4) (3,5);(3,6); |
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(4,1);(4,2) (4,3);(4,4) (4,5);(4,6); |
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(5,1);(5,2) (5,3);(5,4) (5,5);(5,6); |
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(6,1);(6,2) (6,3);(6,4) (6,5);(6,6)} |
... das sind 6 × 6 - also 36 Möglichkeiten |
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Jetzt soll die Augensumme das Ergebnis sein:
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| 3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| 4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| 5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
| 6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Also S = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
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Events sagt man wohl heute
;-) |
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Ereignisse im mathematischen
Sinne sind eine wohldefinierte Teilmenge aller möglichen Ergebnisse |
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Zusammenhang Zufallsversuche - Ereignis - dazu folgende
Zufallsexperimente:
- Würfeln S = {1,2,3,4,5,6}
- Ereignis: Augenzahl gerade {2,4,6}
- Ereignis: Augenzahl ist größer als 3 {4,5,6)
- Ereignis: Augenzahl ist Primzahl {2,3,5)
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Man sagt: Zu jedem EREIGNIS gehört eine MENGE VON ERGEBNISSEN. Jede
Menge von Ergebnissen beschreibt ein bestimmtes Ereignis. Hier nun Beispiele mit
rotem und blauem Würfel:
- die Augensumme ist gleich 9
- die Augensumme ist kleiner als 5
- die Augensumme ist eine Primzahl
- die Augensumme ist durch 3 teilbar
- die Augensumme ist 6 oder 7
- beide Augenzahlen sind gleich
- die zweite Augenzahl ist sechs
- mindestens eine der Augenzahlen ist sechs
- das Produkt der Augenzahlen ist größer als 12
- das Produkt der Augenzahlen ist größer als 20
- die beiden Augenzahlen unterscheiden sich um eins
- die erste Augenzahl ist kleiner als die zweite
- die zweite Augenzahl ist ein Vielfaches der ersten
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Das tangiert dann auch schon diesen unangenehmen Bereich
der Mathematik ...
Mengentheoretische Grundlagen |
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