Taylor'sche Reihen

Letztmalig dran rumgefummelt: 20.01.12 07:00:53

	Ohne Mathematik sowie einiger logischer Denkansätze läuft in der Informatik so gut wie gar nichts. Bezeichnend für den Sonderfall Informatik ist allerdings die Definition des Wertebereiches der verwendeten Elemente aus dem Bereich der Zahlen. Informatiker benötigen interessanterweise oft die ganzen Zahlen und von denen eigentlich nur die vier Wahnsinnselemente: -1; 0; +1 sowie ∞. Trotzdem erkennen wir auch hier, dass die landläufige Behauptung: "... Informatik entwickelt sich schneller, als der verbleibende Rest der Gesellschaft!" ... und: ".... immer ist alles neu und anders!!!" nicht stimmt - die Informatik als sich selbst begründet sich auf zumindest seit Jahrhunderten bekannten Fakten sowie Aussagen, was sich wirklich schnell ändert, ist die zur Umsetzung verwendete Software sowie Komponenten der Hardware ;-) ... trotzdem gilt immer: „Lieber 'ne sechs in Mathe, als gar keine persönliche Note.“
	0. Wie rechnen eigentlich Computer?   1. Probleme mit Zahlen   2. Mengenlehre     3. Besondere, sehr große sowie sehr kleine Zahlen   4. Mengenauswahlen   5. Stochastik   6. Vektorrechnung   7. Matrizenrechnung   8. Mathematische Verfahren   9. Mathematische Gesetze 10. Mathematische Beweise 11. Verwandte Themen
	mathematische Ansätze der Informatik Logo der Taylor'schen Reihen inhaltlich auf korrektem Stand - evtl. partiell unvollständig ;-) Wissen für Fortgeschrittene der Informatik Informatik-Profi-Wissen
	Quellen: Zahlenzauber - Von natürlichen, imaginären und anderen Zahlen - aus dem Amerikanischen von Manfred Stern Seite 18 bis 23 Technische und Theoretische Informatik  Seite ???
	Taylor - Taylor, Brook

0. Wie rechnen eigentlich Computer?

	Gleich eins vorweg: Saudoof!!! Aber das auf sehr hohem Niveau - sowie zwei weiteren Pluspunkten: sie vergessen nix und machen keine Fehler!!! Das steht zwar im krassen Widerspruch zu der Aussage: "... die Summe an Fehlern, die ein Computer in nur einer Sekunde macht, kann sich kein Mensch vorstellen!" - bleibt aber dennoch wahr, denn: CPU's verfügen über ein automatisches Fehler-Erkennungs- und Reparatursystem - und dies alles auf fast reiner Hardware-Basis!!! Theoretisch ist das auch ganz einfach, hat aber eben viel mit Mathematik sowie Logik zu tun ;-)   leider das Ende für eine zunehmende Anzahl unserer Zeitgenossen!
	Mathematik auf der Rechner-Grundebene (das ist Assembler!!!) ... Binararithmetik Taylor'sche Reihen - die machen den Rest ;-) Projekt Assemblerprogrammierung 2009 ... grundsätzlich zeigt dies unser Assembler-Programmierungsprojekt aus dem Jahre 2009 auf - Programmierung eines Taschenrechners mit dem legendären LC-80 ... ... zu den Regeln der Binärarithmetik
	... und dies alles geschieht auf Binärebene!!! Mathematische Konvertierung ... Elektronische Konvertierung ... Softwaretechnische Konvertierung ... Goldbachvermutung ...       Goldbach-Vermutung
	... mathematische Grundoperationen einfach mal zum Kennenlernen ... Addition ist noch einfach ... Größte gemeinsame Teiler ... Kleinste gemeinsame Teiler ... Quersummen Primzahlfaktorisierung   die Zahlenteiler   GGT   KGV   Quersummenermittlung   Primzahlfaktorisierung

1. Probleme mit Zahlen

	Das schöne an der Informatik ist: sie braucht eigentlich keine Zahlen! Ihr geht es ja genau darum, herauszufinden und/oder festzulegen, was mit den Zahlen passieren soll. Die Antwort des Professors in einer Inforamtikvorlesung könnte also lauten: "2 x 2 ist rund 4!" oder: "... die hier aufgezeigte Lösung können Sie zu Hause auch einmal mit Zahlen ausprobieren - es sollte klappen!".
	Primzahlen Primzahlsuche ... Primzahlfaktorisierung ...     Goldbachvermutung ... die Primzahlsuche Primzahlfaktorisierung       Goldbach-Vermutung
	Teiler, Teilbarkeiten. größte sowie kleinste gemeinsame Vielfache - Quersummen sowie deren K-te Vielfache ... Zahlenteiler ... Größte gemeinsame Teiler ... Kleinste gemeinsame Teiler ... Quersummen Primzahlfaktorisierung ... und noch ganz andere Probleme die Zahlenteiler GGT KGV Quersummenermittlung Primzahlfaktorisierung Logo zur Problemlösung

2. Mengenlehre

	Das ist gar nicht so einfach, wie es aussieht - Problem bei der Sache: jede naturwissenschaftliche Disziplin kommt mehr oder weniger (oft mehr als sie denkt!) beim Informationsbegriff an! Aber was machen wir daraus? Jeder erwartet klare Antworten von der Informatik - es scheint ja deren Problem zu sein; Irrtum - dies betrifft uns alle!
	Mengentheoretische Grundlagen

3. Besondere, sehr große sowie sehr kleine Zahlen

	Millionen, Billionen und sonstige Zillionen - die Italiener fügten an mille (lateinisch „tausend") ein Vergrößerungssuffix und erhielten millione („großes Tausend"), woraus dann milione wurde. Hiervon leitet sich unser Wort „Million" ab. Um 1484 prägte N. Chuquet die Wörter Billion, Trillion, ..., Nonillion, die 1520 in einem Buch von Emil de la Roche auch im Druck erschienen. Diese Arithmetiker setzten die Präfixe b, tr, quadr, quint, sext, sept, oct und non vor „illion" und bezeichneten damit die 2., 3., 4., 5., 6., 7., B. und 9. Potenz einer Million. Um die Mitte des 17. Jahrhunderts wurden die obigen Ausdrücke dann aber von anderen französischen Arithmetikern zur Bezeichnung der 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9. und 10. Potenz von Tausend verwendet. Obwohl dies von den größten Lexikographen als „irrig" (Littre) und als „eine völlige Perversion der ursprünglichen Nomenklatur von Chuquet und de la Roche" (Murray) bezeichnet wurde, ist der neuere Sprachgebrauch heute in den USA der Standard.
	Sehr große und sehr kleine Zahlen in Computern darstellen - an und für sich kein sehr großes internes Problem. Reicht das Byte (die Grundeinheit wohl zumindest für längere Zeit) zum Speichern von Daten nicht mehr aus, dann nehmen wir eben die erforderliche Anzahl von Bytes. Aber ganz so einfach ist die Sache unter Beachtung der praktischen Erfordernisse dann doch nicht.
	Exponetialdarstellung von Zahlen
	Besondere Zahlen π Euler'sche Zahl Bernoulli-Zahlen die faszinierende Welt von π die Euler'sche Zah Bernoulli-Zahlen
	Der ältere Sprachgebrauch ist dagegen in Großbritannien erhalten geblieben und stellt auf dem europäischen Kontinent immer noch den Standard dar (wobei aber die Franzosen heute „llon" anstelle von „llion" schreiben). Diese riesigen Zahlen waren einst nur Spielzeug der Arithmetiker; durch den Fortschritt der Wissenschaft sahen sich die Menschen jedoch gezwungen, sogar noch mehr Namen für diese Zahlen zu finden. Im folgenden geben wir die von der Conference Generale des Poids et Mesures im Jahre 1991 empfohlenen Zahlenpräfixe wieder (mit den entsprechenden deutschen Zahlennamen)   Einheit × N Einheit/N die Zahl N Deka (da) Dezi (d) 10 = Zehn Hekto (h) Zenti (c) 100 = Hundert Kilo (k) Milli (m) 1000 = Tausend Mega (M) Mikro (N) 106 = Million Giga (G) Nano (n) 109 = Milliarde Tera (T) Piko (p) 1012 = Billion Peta (F) Femto (f) 1015 = Billiarde Exa (E) Atto (a) 1018 = Trillion Zetta (Z) Zepto (z) 1021 = Trilliarde Yotta (Y) Yocto (y) 1024 = Quadrillion Wie setzt sich die Reihe der Wörter auf „-illion" fort? Wir verwenden „Zillion" für einen typischen Repräsentanten, so dass die Nte Zillion für 103N+3 (amerikanischer Standard) oder 106N (britischer Standard) steht. Die Namen der ersten 9 „Zillionen" sind die von Chuquet erschaffenen: „Million", „Billion", „Trillion", „Quadrillion", „Quintillion", „Sextillion", „Septillion", „Oktillion" und „Nonillion". Für die hundertste Zillion ist „Zentillion" ein bereits feststehender Ausdruck. Für jede Zillion von der l0ten bis zur 999sten kann man einen Namen finden, indem man Teile aus den passenden Spalten der folgenden Tabelle miteinander kombiniert und dann den letzten Vokal durch „illion" ersetzt: Darstellungswert Einer Zehner Hunderter 1 un deci centi 2 duo viginti ducenti 3 tre triginte trecenti 4 duattuor duadraginta   5 duiridua duadringenti   6 oe     7 eepte     8 octo     9 nove     3  (*) "5  "5 4  "5 "5 5  "5 r[uinduaginte "5 c[uingenti 6  (*) " eexaginte " ococenti 7  (*) " eeptuaginta " ceptirngenti 8  '"" octoginta mx octingenti 9  (*) nonaginta nongenti Bemerkung: Unmittelbar vor einer mit s. oder x gekennzeichneten Komponente vergrößern sich „tre" zu „tres" und „se" zu „ses" oder „sex". Analog vergrößern sich „septe" und „nove" zu „septem" und „novem" oder „septen" und „noven" unmittelbar vor Komponenten, die mit "' oder " gekennzeichnet sind. Einem Vorschlag von Allan Wechsler folgend, erweitern wir dieses System unbegrenzt, indem wir die genannten Komponenten gemäß folgender Vereinbarung miteinander verbinden: Es bezeichne beispielsweise „XilliYi11iZillion" die (1000000X + l000Y + Z)-te Zillion, wobei wir „Nillion" für die nullte „Zillion" verwenden, wenn dies als Platzhalter benötigt wird. So ist zum Beispiel die millionund-dritte Zillion eine „Millinillitrillion". Man ' kann nun mit Hilfe der üblichen Kombinationsregeln dieses vollständige System von zillionen Wörtern (das im vorliegenden Buch erstmalig erscheint) dazu verwenden, korrekte ,deutsche Namen` für alle ganzen Zahlen zu bekommen, wie zum Beispiel „vier Millinillitrillionen (und) fünfzehn", Unser Vorschlag hat den bedauerlichen Nebeneffekt, dass Donald Knuths Zahl „eight billion, eighteen million, eighteen thousand eight hundred fiftyone" vermutlich nicht mehr die alphabetisch früheste Primzahl im amerikanischen System ist.

4.  Mengenauswahlen

	Für kleine Auswahlmengen sicher kein Problem - steigt die Anzahl n sowie die Auswahlmenge k nur geringfügig an, so explodiert das alles in der reinen Aufwandsfrage. Dies erkannten auch schon die Chiffrierer und Codeknacker während der Renaissance - schließlich ist ein Vigenére-Chiffre nichts anderes, als die Zahl der Möglichkeiten weit nach oben zu treiben. Damit soll ein potentieller Angreifer möglichst wenig Chancen haben, der Chiffre also sich sein.
	n stellt die Gesamtmenge dar und k bildet die definierte Teilmenge aus n
	Begriffe und Formeln ... Angewandt auf Zahlenmuster ... Angewandt auf Zeichenmuster ... Achtung: auch wenn es nicht so aussieht: in den folgenden Spalten steht eigentlich überall das gleiche - man muss es nur suchen ;-) k Elemente aus der Menge n 2 Ziffern aus der Menge von 3 Ziffern 2 Zeichen aus der Menge von 3 Zeichen
	Tupel - die Variation mit Wiederholungen ... Permutation - die Variation ohne Wiederholungen ... Kombinationen - die Zuordnung von Elementen mit Wiederholungen ... Mengen - die Zuordnung von Elementen mit Wiederholungen ...   Permutationen     Beispiel ist Zählen ... Beispiel ist Looto 6 aus 49 ...

5. Stochastik

	"Gott würfelt nicht" - das waren schon Albert Einsteins Worte zur Kommentierung der Frage "Zufall", mit welcher wir uns auch heute noch immer schwer tun, obwohl ihre Klärung hochrangig wäre. Hochinteressant ist dabei, wie wir uns mit Annäherungen an den den Zufall behelfen
	Zufall auf dem Computer - geht das überhaupt??? ... prinzipiell JA - aber er darf eben nicht echt sein, das geht dann nur mit eingelesenen wirklichen Zufallsgrößen - z. B. den Halbwertszeiten irgendwelcher Elemnete, diese jedoch real gemessen - doch! - so etwas geht - wie, das erklären Dir die Physiker Computer & Zufall Stochastik-Grundlagen

6. Vektorrechnung

	Alles, was in der Computergeometrie zweidimensional hinreichend reprduziert werden kann, stellt man mit diesem Werkzeug dar. Das ist für den mathematischen Einsteiger hinreichend komplex, entlockt dem 3D-Anwender (zumindest dann, wenn er es programmieren kann!), nur ein müdes "Lächeln"!
	Vektorrechnung

7. Matrizenrechnung

	Hier nun zur Basis der Grafik jedes halbwegs 3D-fähigen Computerspieles, denn die Berechnung der Fluchtpunkte für die Räumliche Geometrie und damit der Annäherung an den wirklichen Sichtlauf erfolgt auf Basis der Matrizenrechnung, Eigentlich alles ganz angenehm: kleine, meist ganze Zahlen - wo also ist das Problem? Es liegt in der Vielfalt der Möglichkeiten
	Matrizenrechnung allgemein   Veni, vidi, vici! - Cäsar tat dies auf dem Felde, aber sie konnte Wissenschaftler des 21. Jahrhunderts auf dem Stand ihrer Zeit durchaus überraschen - und das mit einem Alter von 16 Jahren: Sarah Flannery's Matrix-Chiffre

8. Mathematische Verfahren

	Es ist August, eine kleine Stadt an der Riviera, Haupt-Saison, aber es regnet, also ist die Stadt leer. Alle haben Schulden und leben auf Kredit. Zum Glück kommt zu einem Hotel ein reicher Russe. Er will ein Zimmer und legt 100 $ auf dem Tisch , danach geht er sich das Zimmer anzuschauen. Der Hotelchef nimmt schnell die Banknote in die Hand und läuft schnell, um seine Schulden bei dem Fleischlieferanten zu regulieren. Dieser nimmt die Banknote in die Hand und läuft schnell, um seine Schulden bei dem Schweinezüchter zu regulieren. Dieser nimmt die 100 $ in die Hand und läuft schnell, um bei dem Futterlieferanten seine Schulden zu reduzieren. Dieser nimmt mit großer Freude das Geld in die Hand und gibt es der Hure, bei der er letztens war und bei der er die Dienstleistungen auf Kredit genommen hat (Krise!). Die Hure nimmt das Geld in die Hand und läuft froh, um ihre Schulden bei dem Hotelchef zu regulieren, wo sie auch letztens war und da Kredit hat .... Und in derselben Sekunde kommt der Russe vom Zimmer zurück und sagt, dass das Zimmer gefällt ihm nicht. Er nimmt seine 100 $ in die Hand und verlässt die Stadt. Niemand hat verdient, aber die ganze Stadt hat keine Schulden mehr und schaut optimistisch in die Zukunft!
	www.matheprisma.de
	Umgekehrte Polnische Notation Taylor'sche Reihenentwicklung HERON-Verfahren Euklid'scher Algorithmus Sieb des Erathostenes Modulo-Operationen   Grundalgorithmen der Informatik
	Tauschalgorithmus

9. Mathematische Gesetze

	Hier montieren wir bewiesene mathematische Grundsätze ohne uns um deren Beweisführung zu kümmern. Mitunter auch aus der Not heraus, das diese uns zwar unbekannt, aber wissentlich vorhanden ist. Und da besonders Programmiersysteme gehässig sind und eben auf solche bekannten Gesetze bauen (... und folgerichtig all das "Weglassen", was man eigentlich unter Nutzung dieser Gesetze gar nicht bracht)
	Winkelfunktionen   Logarithmengesetze

10. Mathematische Beweise

	... da in der Informatik so viel die Rede von "Bewiesenem" ist, thematisieren wir das hier einmal selbst und stellen die ganz einfache Frage: "Welche Rolle spielen eigentlich die mathematischen Beweise ganz allgemein?"
	Winkelfunktionen   Logarithmengesetze

11. Verwandte Themen

	Überall ist es mir bisher eigentlich gelungen, zu den Verwandtschaften einen dummen Satz zu schreiben, welcher in etwa auch den Kern des Problems trifft - geht hier nicht - 's gibt keinen. Der Begriff ist derart zentral und so absolut unklar, dass es einfach keinen Blödsinn gibt, um ihn zu beschreiben. Und nun ist eigentlich wirklich alles irgendwie mit diesem Begriff verwandt.
	Bereich Datenfernübertragung Datenübertragungsverfahren OSI Referenz-Schichtenmodell die RS232-Schnitttstelle Tabelle des UNICODES Kryptologie Digitale Signale Information, Nachricht und Signalbegriff
	Daten- und Computerorganisation Speicherung von Daten Data Storages Redundanz Datenkompression Computerviren

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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha

© Frank Rost am 11. Oktober 2011 um 19.53 Uhr