2.6. Allgemeine Zahlen und Zahlensysteme history menue Letztmalig dran rumgefummelt: 17.10.11 10:02:42
Von allen Zahlensystemen ist das Binärsystem seit Konrad Zuse und des Einzuges von Computern in eigentlich jedes Zimmer der modernen Welt zu einem magischen Highlight geworden - dies auch, wenn das die Mehrheit der Konsumenten überhaupt nicht bemerkt. Was bei Leibnitz, Boole und de Morgan noch mathematische Spielereinen gewesen, hat sich heut' zu einem Eckpfeiler des Informationstechnologie und damit zu einer Kenngröße für die gesamte Industrie gewandelt.
  1. Zahlen und ihre Herkunft
  2. Binärzahlen und ihre Rechenregeln - Halbaddierer
  3. Oktalzahlen
  4. Hexadezimalzahlen
  5. Gepacktes BCD-Format
  6. Zahlenkonvertierung
  7. Festkommazahlen
  8. Gleitkommazahlen in IBM bzw. DEC-Format
  9. Komplementäre Darstellungen
10. Aufgaben
11. Verwandte Themen

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Puzzle Zahlensysteme

Wissen für Fortgeschrittene der Informatik
auffällig ist, dass alle frühen Kulturen unabhängig von irgendwelchen Informationsaustausch das Zehnersystem verwendet haben - also das Dezimalsystem kannten
Mathematik der Informatik Keine höhere Mathematik für Computer ohne ... ... und so funktioniert's in Deinem Computer gan tief drin

mathematischen Ansätze der Informatik

Taylor'schen Reihen

... zu den Regeln der Binärarithmetik
1. Allgemeine Zahlendarstellung history menue scroll up
Zahlen sind für unsere Vorstellungswelt etwas so allgemeines, dass hier eigentlich gar nichts mehr stehen sollte. Andererseits gibt es in der Informatik ein mathematisches Verständnis, welches Zusammenhänge hinlänglich beschreiben kann, ohne auf eine einige Zahl zurück zu greifen.

Zahlen

Zur Darstellung der zehn Ziffern des Dezimalsystems von 0 bis 9 benötigen Sie wirklich die entsprechende Anzahl von Ziffern (und damit eindeutig definierte sowie unterscheidbare Kriterien). Für die Arbeit auf dem Computer würde dies bedeuten, dass Sie zehn verschiedene (und auch sicher erkennbare) Zustände erzeugen müssten. Das ist mit Mitteln der Elektrotechnik und unter Berücksichtigung der geforderten Geschwindigkeiten moderner Rechner schwer möglich. Duale Zahlen benötigen lediglich die Ziffern "1" und "0" zur Darstellung. Außerdem lässt sich die Basis der Dualzahlen zu weiteren, für Computer günstige Zahlensystemen transformieren. Diese Vorteile sind allerdings auch mit einer Reihe von Nachteilen verbunden:

  • Zahlen sind sehr vielstellig (eben einfach unhandlich lang)

  • ungewohnt in der Handhabung für den Menschen

  • scheinbar kompliziertes mathematisches Regelwerk

  • Verwechslungen sind möglich (Kennung "B" für Binär, "D" für Dezimal, "H" für Hexadezimal und "O" für Oktalzahlen) - Unterscheidung tut daher Not

  • BCD-Format ist eindeutig erkennbar - 's ist 'ne Binärdarstellung reduziert auf 10 Ziffern - jeder Prozessor kennt das

Um Verwechslungen zu vermeiden, wird den Dualzahlen ein großes "B" für "Binär", den Hexadezimalen ein großes "H" und den Dezimalzahlen ein "D" nachgestellt. Allgemein können Zahlen jeglichen Zahlensystems wie folgt dargestellt werden:

allgemeine Bildungsvorschrift für Zahlensysteme - wir werden für jedes Zahlensystem drauf zurück kommen

unsere gebräuchlichen Zahlensysteme sind Positionssysteme - im Gegensatz zu den Römischen Zahlen (ein Additionssystem)
die Anwendung aller Zahlensysteme ist gleich - folglich auch ihrer Rechen- und Konvertierungsregeln - sie unterscheiden sich nur in der Basis (dem Wertevorrat der definierten Grundmenge (... also der Anzahl der Grundziffern))
ist der Ziffernvorrat beim Zählen erschöpft, schreiben wir in der Folgezahl 'ne Null für die betreffende Stelle, und erhöhen die vorangesetzte Stelle um eins
das Binärsystem ist das einfachste Zahlensystem - besser geht's nicht!!!
daraus folgt der Wichtige Satz aus Murphy's Gesetzen: "Manchmal kann Null so groß werden, dass es schon fast ein bisschen Eins ist!" - elektronisch lässt sich das sogar realisieren!!
Zahlendarstellung 101 100 Leseweise
0 0 0 nimm null mal die 101 plus null mal die 100
1 0 1 nimm null mal die 101 plus ein mal die 100
2 0 2 nimm null mal die 101 plus zwei mal die 100
3 0 3 nimm null mal die 101 plus drei mal die 100
4 0 4 nimm null mal die 101 plus vier mal die 100
5 0 5 nimm null mal die 101 plus fünf mal die 100
6 0 6 nimm null mal die 101 plus sechs mal die 100
7 0 7 nimm null mal die 101 plus sieben mal die 100
8 0 8 nimm null mal die 101 plus acht mal die 100
9 0 9 nimm null mal die 101 plus neun mal die 100
10 1 0 nimm ein mal die 101 plus null mal die 100
11 1 1 nimm ein mal die 101 plus ein mal die 100
12 1 2 nimm ein mal die 101 plus zwei mal die 100
13 1 3 nimm ein mal die 101 plus drei mal die 100
· · ·  
· · ·  
· · ·  
99 9 9 nimm neun mal die 101 plus neun mal die 100
100 0 0 nimm ein mal die 102 plus null mal die 101 plus null mal die 100

Wertetabelle für das Dezimalsystem
2. Binärzahlen history menue scroll up
Werden die einzelnen Bits als vorzeichenlose Zahl interpretiert, so ergibt sich folgende Zuordnung für die wichtigsten Zahlensysteme:
 

Bitstelle

3.

2.

1.

0.

 

 

 

Potenz von 2

23

22

21

20

Binär

Dezimal

Hexadezimal

Potenzen von 2

8

4

2

1

 

 

 

 

0

0

0

0

0000B

00 D

00 H

 

0

0

0

1

0001 B

01 D

01 H

 

0

0

1

0

0010 B

02 D

02 H

 

0

0

1

1

0011 B

03 D

03 H

 

0

1

0

0

0100 B

04 D

04 H

 

0

1

0

1

0101 B

05 D

05 H

 

0

1

1

0

0110 B

06 D

06 H

 

0

1

1

1

0111 B

07 D

07 H

 

1

0

0

0

1000 B

08 D

08 H

 

1

0

0

1

1001 B

09 D

09 H

 

1

0

1

0

1010 B

10 D

0A H

 

1

0

1

1

1011 B

11 D

0B H

 

1

1

0

0

1100 B

12 D

0C H

 

1

1

0

1

1101 B

13 D

0D H

 

1

1

1

0

1110 B

14 D

0E H

 

1

1

1

1

1111 B

15 D

0F H

Grundlagen der binären Zahlendarstellung
2n n 2-n
1 0 1,0
2 1 0,5
4 2 0,25
8 3 0,125
16 4 0,062 5
32 5 0,031 25
64 6 0,015 625
128 7 0,007 812 5
256 8 0,003 906 25
512 9 0,001 953 125

Umrechnungsfaktoren zur Basis 2 (mit Vor- und Nachkommastelle)
  23 22 21 20 Leseweise
  8 4 2 1 zugehörige Dezimalwerte
0 0 0 0 0 nimm null mal die 23 plus null mal die 22 plus null mal die 21 plus null mal die 20
1 0 0 0 1 nimm null mal die 23 plus null mal die 22 plus null mal die 21 plus ein mal die 20
2 0 0 1 0 nimm null mal die 23 plus null mal die 22 plus ein mal die 21 plus null mal die 20
3 0 0 1 1 nimm null mal die 23 plus null mal die 22 plus ein mal die 21 plus ein mal die 20
4 0 1 0 0 nimm null mal die 23 plus ein mal die 22 plus null mal die 21 plus null mal die 20
5 0 1 0 1 nimm null mal die 23 plus ein mal die 22 plus null mal die 21 plus ein mal die 20
6 0 1 1 0 nimm null mal die 23 plus ein mal die 22 plus ein mal die 21 plus null mal die 20
7 0 1 1 1 nimm null mal die 23 plus ein mal die 22 plus ein mal die 21 plus ein mal die 20
8 1 0 0 0 nimm ein mal die 23 plus null mal die 22 plus null mal die 21 plus null mal die 20
9 1 0 0 1 nimm ein mal die 23 plus null mal die 22 plus null mal die 21 plus ein mal die 20
10 1 0 1 0 nimm ein mal die 23 plus null mal die 22 plus ein mal die 21 plus null mal die 20
11 1 0 1 1 nimm ein mal die 23 plus null mal die 22 plus ein mal die 21 plus ein mal die 20
12 1 1 0 0 nimm ein mal die 23 plus ein mal die 22 plus null mal die 21 plus null mal die 20
13 1 1 0 1 nimm ein mal die 23 plus ein mal die 22 plus null mal die 21 plus ein mal die 20
· · · · ·  
· · · · ·  
· · · · ·  
15 1 1 1 1 nimm ein mal die 23 plus ein mal die 22 plus ein mal die 21 plus ein mal die 20
22 0 1 1 0 nimm ein mal die 24 plus null mal die 23 plus ein mal die 22 plus ein mal die 21 plus null mal die 20

Wertetabelle für das Dualsystem

Darstellung von Binärzahlen:

25        24        23        22        21        20        Potenz von 2

32        16        8          4          2          1          mathematischer Dezimalwert

1          1          1          1          1          1          = 32+16+8+4+2+1 = 63 (die auf "1" stehende Potenzstellen von 2 werden aufaddiert)

1          0          1          1          0          1          = 32+8+4+1 = 45 (die auf "0" stehenden Potenzen von 2  werden nicht mit addiert)

Zusätzlich hat sich mit Einzug der Rechentechnik durchgesetzt, die einzelnen Stellen der Zweierpotenzen als Bit-Stellen zu bezeichnen. Beachten Sie dabei, dass die Zählung entsprechend der Potenz von Zwei mit Null begonnen wird! Also entspricht:

Bit 7 Bit 6 Bit 5 Bit 4 Bit 3 Bit 2 Bit 1 Bit 0

 27    26    25    24    23    22   21    20

Rechenregeln bei der Anwendung von Binärzahlen:

Addition von zwei Binärzahlen:

1. Summand: 0         0          1           1

2. Summand: 0         1          0           1

            __________________________________

Summe:      0         1          1           0 + Übertrag

Beispiel:

            10011101B      157D

           +01101001B     +105D

           ___________________          

           100000110B      262D

Subtraktion von zwei Binärzahlen:

Zur Verrechnung von a - b = c wird angesetzt: a + (-b) = c! Prinzip der Subtraktion ist es, vom Subtrahenden die Negation (Umkehrung aller Stellen - aus "0" wird "1" und umgekehrt) zu bilden, in der letzten Stelle "1" zuzuaddieren um anschließend Minuend plus Subtrahend zu verrechnen. Also:

Minuend     0        1          1          0

Subtrahend  0        0          1          1
            ________________________________

Differenz   0        1          0          1

mit "Borgen" von der nächsten Stelle

Beispiel:

           100000110B      262D
          - 01101001B     -105D

(negiert  = 10010110B)
(+1       = 10010111B)
          _______________________

anzusetzen 100000110B
          + 10010111B
          ______________________

            10011101B      157D

Achtung: Entsteht bei der abschließenden Addition ein Ergebnis, welches größer als der Minuend ist, so ist die führende "1" einfach zu streichen. Sind Minuend und Subtrahend nicht gleichstellig, so muss vor dem Bilden des Zweierkomplements des Subtrahenden die Stellenzahl durch Auffüllen mit Vornullen gleichstellig gemacht werden!!!

Beispiele für die Addition und Subtraktion der Dezimalzahlen 11D und 4D:

Addition:

  1011B = 11D
 +0100B =  4D
_____________

  1111B = 15D

Subtraktion:

  1011B = 11D  -0100B =  4D  1011B

                         1011B

                        +0001B

                         ______

                         1100B

entspricht -4, wenn Sie das erste Bit als negatives Vorzeichen interpretieren! Nachfolgend wird mit dem veränderten Subtrahenden addiert, also:

  1011B  11D
 +1100B (-4D)
 ______

 10111B = 7D

 
  • entsteht im Ergebnis ein Betrag, der stellenmäßig größer als möglich ist, so ist dies genau eine Stelle und sie wird gestrichen
  • Minuend und Subtrahend vor der Operation gleichstellig setzen - also mit Vornullen auffüllen

3. Oktalzahlen ... history menue scroll up

... spielen eigentlich nur noch eine historische Rolle und werden in Mikrocontrollern angewandt, welche nur eine geringe Bitbreite z.B. zur A/D-Wandlung besitzen - dort wird aus technologischen Gründen mit jedem Bit gegeizt und dafür der Rechenaufwand erhöht (Bitstellen haben Controller nur wenige - Rechnen können sie schnell), denn am Schluss muss ja alles wieder Dezimal präsentiert werden.
das Zahlensystem umfasst nur 8 Ziffern - also die von der 0 bis zur 7
zur Darstellung werden allerdings nur drei Bit benötigt
alle rechen- und Darstellungs- sowie auch Konvertierungsoperationen lassen sich problemlos erledigen
4. Hexadezimalzahlen - mehr HEX hier history menue scroll up

Nach Einführung des Binär- oder Dualsystems auf den ersten Großrechnern hat sich gezeigt, dass die Handhabung dieser Zahlen auch schon bei geringer Stellenzahl bei Umrechnung in das, dem Menschen verständlichere Dezimalsystem, ein Mangel auftrat: zur Darstellung der zehn Ziffern benötigte man 4 Bit-Stellen - jedoch kann man auf 4 Bit insgesamt 16 Ziffern darstellen. Dies führte zum Hexadezimalsystem - ein Ziffernsystem mit eben 16 Grundzahlen (von 0 bis 15). Dabei unterscheiden sich die Ziffern von 0 - 9 nicht vom Dezimalsystem, lediglich die noch fehlenden von 10 - 15 müssen, auf einer Stelle geschrieben, durch die Buchstaben A - F ersetzt werden. Gekennzeichnet werden diese Zahlen durch ein nachgestelltes "H"!

 
  n 16-n
1 0 1,0
16 1 0,062 5
256 2 0,003 906 25
4 096 3 0,000 244 140 625
65 536 4 0,000 015 258 789 062 5
1 048 576 5 0,000 000 953 674 316 406 2
16 777 216 6 0,000 000 059 604 644 775 39
268 435 456 7 0,000 000 003 725 290 298 462
4 294 967 296 8 0,000 000 000 232 830 643 653 9
68 719 476 736 9 0,000 000 000 014 551 915 228 37

Umrechnungsfaktoren zur Basis 16 (mit Vor- und Nachkommastelle)
Darstellung von Hexadzimalzahlen
Zahlendarstellung 163 162 161 160 Leseweise
  4096 256 16 1 zugehörige Dezimalwerte
0 0 0 0 0 nimm null mal die 163 plus null mal die 162 plus null mal die 161 plus null mal die 160
1 0 0 0 1 nimm null mal die 163 plus null mal die 162 plus null mal die 161 plus ein mal die 160
9 0 0 0 9 nimm null mal die 163 plus null mal die 162 plus null mal die 161 plus neun mal die 160
10 0 0 0 A nimm null mal die 163 plus null mal die 162 plus null mal die 161 plus zehn mal die 160
11 0 0 0 B nimm null mal die 163 plus null mal die 162 plus null mal die 161 plus elf mal die 160
15 0 0 0 F nimm null mal die 163 plus null mal die 162 plus null mal die 161 plus fünfzehn mal die 160
16 0 0 1 0 nimm null mal die 163 plus null mal die 162 plus ein mal die 161 plus null mal die 160
17 0 0 1 1 nimm null mal die 163 plus null mal die 1616 plus ein mal die 161 plus ein mal die 160
18 0 0 1 2 nimm null mal die 163 plus null mal die 162 plus ein mal die 161 plus zwei mal die 160
29 0 0 1 D nimm ein mal die 163 plus null mal die 162 plus null mal die 161 plus ein mal die 160
31 0 0 1 F nimm null mal die 163 plus null mal die 162 plus ein mal die 161 plus fünfzehn mal die 160
32 0 0 2 0 nimm null mal die 163 plus null mal die 162 plus zwei mal die 161 plus null mal die 160
77 0 1 4 D nimm null mal die 163 plus ein mal die 162 plus vier mal die 161 plus zwölf mal die 160
4096 1 0 0 0 nimm ein mal die 163 plus null mal die 162 plus null mal die 161 plus null mal die 160
· · · · ·  
· · · · ·  
· · · · ·  
4369 1 1 1 1 nimm ein mal die 163 plus ein mal die 162 plus ein mal die 161 plus ein mal die 160
65535 F F F F nimm fünfzehn mal die 163 plus fünfzehn mal die 1616 plus fünfzehn mal die 161 plus fünfzehn mal die 160

Wertetabelle für das Hexadezimalsystem
Hexadezimalzahlen

00

10

20

30

40

50

60

70

80

90

A0

B0

C0

D0

E0

F0

01

11

21

31

41

51

61

71

81

91

A1

B1

C1

D1

E1

F1

02

12

22

32

42

52

62

72

82

92

A2

B2

C2

D2

E2

F2

03

13

23

33

43

53

63

73

83

93

A3

B3

C3

D3

E3

F3

04

14

24

34

44

54

64

74

84

94

A4

B4

C4

D4

E4

F4

05

15

25

35

45

55

65

75

85

95

A5

B5

C5

D5

E5

F5

06

16

26

36

46

56

66

76

86

96

A6

B6

C6

D6

E6

F6

07

17

27

37

47

57

67

77

87

97

A7

B7

C7

D7

E7

F7

08

18

28

38

48

58

68

78

88

98

A8

B8

C8

D8

E8

F8

09

19

29

39

49

59

69

79

89

99

A9

B9

C9

D9

E9

F9

0A

1A

2A

3A

4A

5A

6A

7A

8A

9A

AA

BA

CA

DA

EA

FA

0B

1B

2B

3B

4B

5B

6B

7B

8B

9B

AB

BB

CB

DB

EB

FB

0C

1C

2C

3C

4C

5C

6C

7C

8C

9C

AC

BC

CC

DC

EC

FC

0D

1D

2D

3D

4D

5D

6D

7D

8D

9D

AD

BD

CD

DD

ED

FD

0E

1E

2E

3E

4E

5E

6E

7E

8E

9E

AE

BE

CE

DE

EE

FE

0F

1F

2F

3F

4F

5F

6F

7F

8F

9F

AF

BF

CF

DF

EF

FF

Hexadezimaltabelle
ihr Entstehen verdanken die Hexadezimalzahlen dem Vorhandensein von vier Bit, um alle Dezimalzahlen (also die von 0 bis 9) abbilden zu können und aber auch gleichzeitig den Kombinationsvorrat der vier Bit das sind nämlich sechzehn!) ausschöpfen zu können
alle Mikroprozessoren bilden ihre Befehlssätze Hexadezimal ab
Hexadzimalzahlen können mit kleiner Stellenzahl schon große Zahlen abbilden - einer ihrer größten Vorteile
5. Gepacktes BCD-Format history menue scroll up

Gepacktes BCD-Format ist die einheitlich in allen Mikroprozessoren und auch Microcontrollern vorhandene Möglichkeit, Dualzahlen in Dezimaldarstellung zu präsentieren und damit für den Menschen (nicht für die Maschine!!!) schnell auswertbare sowie interpretierbare Ergebnisse zur Anzeige zu bringen.

  4. Stelle 3. Stelle 2. Stelle 1. Stelle Verfahrensweise
  0 bis 9 0 bis 9 0 bis 9 0 bis 9 zugehörige Dezimalwerte
0 0000 0000 0000 0000 übersetze Stellenweise (also tetradenweise in das jeweilige System)
1 0000 0000 0000 0001  
9 0000 0000 0000 1001  
10 0000 0000 0000 1010  
39 0 0 0011 1001  
255 0000 0010 0101 0101  
4096 0010 0000 1001 0110  

Wertetabelle für das gepackte BCD-System
Basis ist die Darstellung jeder Stelle in Tetraden (je vier Bit)
Zahlen größer 9 dürfen nicht vorkommen - sie werden sonst logischerweise falsch übersetzt (das genau kann dann allerdings ein entsprechender Mikroprozessorbefehl - er erhöht dann nämlich automatisch die Stellenzahl
in der Übersetzung bekommt jede Tetrade mit ihrem Bitmuster den zugehörigen Dezimalwert und umgekehrt.
es werden allerdings alle vier Bits der Tetrade zur Darstellung auch wirklich benötigt - 's geht nich mit weniger!!!
6. Konvertierungsverfahren history menue scroll up

Gepacktes BCD-Format ist die einheitlich in allen Mikroprozessoren und auch Microcontrollern vorhandene Möglichkeit, Dualzahlen in Dezimaldarstellung zu präsentieren und damit für den Menschen (nicht für die Maschine!!!) schnell auswertbare sowie interpretierbare Ergebnisse zur Anzeige zu bringen.

Konvertierung von Binärzahlen history menue scroll up

Dezimal in Binärsystem

    
Gegeben sei die Dezimalzahl 79D
Grundoperation Ergebnis Rest
79 : 2 = 39 Rest 1
39 : 2 =19 Rest 1
19 : 2 = 9 Rest 1
9 : 2 = 4 Rest 1
4 : 2 = 2 Rest 0
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
1001111B
Verfahren: Dezimalzahlen werden durch fortlaufende Division des ganzzahligen Ergebnisses durch zwei erreicht, indem der jeweils vorhandene Rest (0 oder 1) notiert und von hinten her in die Zahl eingetragen wird.
führe die Division wirklich bis zum Ergebnis "0"
... die letzte Zeile lautet immer 1 : 2 = 0 Rest 1 (... das muss sie auch, denn sonst beginnen unsere Binärzahlen mit einer "Vornull" - und das ist ja nun mal Quatsch!!!)
beginne bei der Binärnotation immer mit dem "letzten Rest" - trage also von unten nach oben ab

Binär- in Dezimalsystem

   
Gegeben sei die Binärzahl 1000101B
26 25 24 23 22 21 20
64 32 16 8 4 2 1
1 0 0 0 1 0 1
64 +0 +0 +0 +4 +0 +1
69D
Verfahren: Binärzahlen werden durch fortlaufende Notation von rechts errechnet, indem die mit ein besetzten Positionen der Zweierpotenz addiert werden
beginne immer mit der Position 20 ganz rechts
... die Stellenanzahl ist eigentlich egal!
addiere nur die mit "1" besetzten Binärstellen in ihrem Wert der Potenz mit zwei, wobei die Zählung mit 0 beginnt

Hexadezimal in Binärsystem

   
Gegeben sei die Hexadezimalzahl A3C9BB1H
6. Stelle 5. Stelle 4. Stelle 3. Stelle 2. Stelle 1. Stelle 0. Stelle
A 3 C 9 B B 1
1010 0011 1100 1001 1011 1011 0001
also 1010001111001001101110110001B
Verfahren: die einzelnen Positionen der Hexzahl werden richtungsunabhängig tetradenweise in die Binärdarstellung überführt
beginne immer mit der Position 0 ganz rechts
... die Stellenanzahl ist eigentlich egal!
in der ganz rechten Stelle könne Vornullen entstehen, die einfach ausgelassen werden können - in allen anderen Stellen dürfen die Vornullen nicht ausgelassen werden!!!

Binär in Hexadezimal

   
Gegeben sei die Binärzahl 10001011001011B
213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
4. Tetrade 3. Tetrade 2. Tetrade 1. Tetrade
1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1
2 2 C B
also 22CBH
Verfahren: Binärzahlen werden durch tetradenweises Umrechnen in das Hexadezimalsystem konvertiert
beginne immer mit der Position ganz rechts (also der kleinsten Tetrade)
... die Stellenanzahl prinzipiell egal!
bleibt die rechte Tetrade wie im Beispiel unvollständig besetzt, so sind die fehlenden stellen mit = zu interpretieren und zu verrechnen
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Dezimalsystem in Hexadezimal

    
Gegeben sei die Deziamlzahl 52704D
Grundoperation Ergebnis Rest

  52704 : 16
- 52704
=0 hexadezimal 0

 = 3294,0 und 3294 ∙ 16=52704 also 3294 Rest 0
  3294 : 16
- 3280
=14 hexadezimal E		 =205,875 und 205 ∙ 16=3280 also 205 Rest E
  205 : 16
- 192
=13 hexadezimal D		 = 12,8125 und 12 ∙ 16=192 also 12 Rest D
  12 : 16
-   0
=12 hexadezimal C		 = 0,75 und 0 ∙ 16=0 Rest C
CDE0
Verfahren: Dezimalzahlen werden durch fortlaufende Division des ganzzahligen Ergebnisses durch sechzehn erreicht, indem der jeweils vorhandene Rest (0 bis 15 - natürlich Hexadzimal) notiert und von hinten her in die Zahl eingetragen wird.
führe die Division wirklich bis zum Ergebnis "0"
... die letzte Zeile lautet immer X : 16 = 0 Rest 1 ...15 (kleinstmöglicher Rest ist 1 das muss sie auch, denn sonst beginnen unsere Binärzahlen mit einer "Vornull" - und das ist ja nun mal Quatsch!!!
beginne bei der Hexnotation immer mit dem "letzten Rest"

Hexadezimal in Dezimalsystem - und: keine Angst vor großen Zahlen - einfach nur stur nach XY Schema arbeiten

   

 
Gegeben sei die Hexadezimalzahl 3BAFC204H
167 166 165 164 163 162 161 160
268435456 16777216 1048576 65536 4096 256 16 1
3 B A F C 2 0 4
3 × 268435456 11 × 16777216 10 × 1048576 15 × 65536 12 × 4096 2 × 256 0 × 16 4 × 1
805306368 184549376 10485760 983040 49152 512 0 4

 
+
+
+
+
+
+
+

805306368
184549376
10485760
983040
49152
512
0
4

  

1.001.374.212
Verfahren: Headezimalzahlen werden tetradenweise von rechts beginnend in Binärzahlen umgesetzt - sollten sich in der linken Stelle Vornullen ergeben, so können diese gestrichen werden
besitzt die linke Tetrade nicht alle vier Stellen, sind statt der fehlenden Stellen Vornullen zu setzen
die Basiszahlen können ja auch etwas kleiner gewählt werden
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Dezimalsystem in Oktal

    
Grundoperation Ergebnis Rest
165 : 8 = 20,625  also 20 Rest 5
20 : 8 =2,5 also 2 Rest 4
2 : 8 = 0,25 also 0 Rest 2
245
Verfahren: Dezimalzahlen werden durch fortlaufende Division des ganzzahligen Ergebnisses durch acht erreicht, indem der jeweils vorhandene Rest (0 bis 7 - natürlich eigentlich oktal) notiert und von hinten her in die Zahl eingetragen wird.
führe die Division wirklich bis zum Ergebnis "0"
... die letzte Zeile lautet immer X : 8 = 0 Rest 1 ...7 (kleinstmöglicher Rest ist 1 das muss sie auch, denn sonst beginnen unsere Binärzahlen mit einer "Vornull" - und das ist ja nun mal Quatsch!!!
beginne bei der Hexnotation immer mit dem "letzten Rest"

Binär in Oktal

Achtung: wir arbeiten mit Triaden, weil Oktalzahlen zur Stellen-Darstellung nur die Ziffern 0 bis 7 zulassen und somit nur drei Bit pro Stelle notwendig sind  
213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
5. Triade 4. Triade 3. Triade 2. Triade 1. Triade
1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1
2 1 3 1 3
Verfahren: Binärzahlen werden durch triadenweises Anordnen und direktes Umsetzen in das Oktalsystem überführt 
beginne mit der Triaden-Bildung ganz rechts, fehlen in der größten (also ganz linken )Triade Stellen - Vornullen auffüllen
Konvertierung von BCD-Zahlen history menue scroll up
Dezimalsystem in gepacktes BCD-Format
1 9 8 7
213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
4. Tetrade 3. Tetrade 2. Tetrade 1. Tetrade
0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1
Verfahren: Dezimalzahlen werden durch stellenweises Umrechnen der Einzelstellen in das Binärsystem ins BCD-Format überführt

 BCD in Dezimal

213 212 211 210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1
4. Tetrade 3. Tetrade 2. Tetrade 1. Tetrade
1 9 8 7
Verfahren: Binärzahlen werden durch triadenweises Anordnen und direktes Umsetzen in das Oktalsystem überführt
beginne mit der Triaden-Bildung ganz rechts, fehlen in der größten (also ganz linken )Triade Stellen - Vornullen auffüllen
9. Komplementäre Zahlendarstellungen history menue scroll up
Hier wird's ganz verzwickt zumal die rechnerinterne Befehlsdarstellung teilweise sogar noch falsch ist. Das ist aber heute nach dem Einsatz tausender verschiedener Mikroprozessortypen sowie Mikrocontroller-Bausteinen wohl nicht mehr zu ändern.

Bildungsvorschrift für das Zweierkomplement

Binärarithmetik
10. Aufgaben history menue scroll up
Binäre Subtraktion - die hohe Schule der Binärarithmetik - aber auch ein Endpunkt für die logischen Grundschaltungen. Zwar hoch im Aufwand, jedoch grundsätzlich noch möglich im Aufbau mit diskreten Bauelementen
Rechnen Sie von Binär in Dezimal um: 10011101011B
Rechnen Sie von Dezimal in Binär um: 2367D
11. Verwandte Themen history menue scroll up
Codewandlungen stehen in der Praxis immer dann an, wenn Gerätekomponenten eingangs- und/oder ausgangsseitig einen Wechsel des Signalmusters erwarten oder benötigen. Defacto ist die Gesamthiet aller logischen Schaltungen nichts weiter als eine Codewandlung. Immer wird aus einem gleichen Input ein äquivalenter Output generiert.

Tabelle des UNICODES

Kryptologie

Segmentbelegung für Anzeigen

möglicher Zeichensatz einer 7 × 5 Punkt-Matrix

DEMULTIPLEXER

D/A bzw. A/D-Wandlung

Digitale Signale

Information, Nachricht und Signal

Halbaddierlogik mit NAND-Gattern realisiert

Binäre Umcodierer

The Mother of Tetraed Codes - der HEX-Code

der 8-4-2-1-Code (Standard Sedesimal-Code oder auch HEX-Code)

der Exzess-3- oder auch Stibitz-Code

der Gray-Code

der 1 aus 10-Code

der 2 aus 5-Code

der Aiken-Code

der Johnson-Code auch Libaw-Craig-Code

Biquinär-Code

der unscheinbare WHITE-Code

Spezial-Uhr nach ELEKTOR Heft Januar 2007 S. 50

  

Informatik verwendet binäre Signale - hier zeigen wir, wie das funktioniert ;-)

Datentypen

Daten

Zahlen, Daten und Datentypen

    

zur Hauptseite		 © Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha © Frank Rost im Februar 1988

... dieser Text wurde nach den Regeln irgendeiner Rechtschreibreform verfasst - ich hab' irgendwann einmal beschlossen, an diesem Zirkus nicht mehr teilzunehmen ;-)

„Dieses Land braucht eine Steuerreform, dieses Land braucht eine Rentenreform - wir schreiben Schiffahrt mit drei „f“!“

Diddi Hallervorden, dt. Komiker und Kabarettist

Diese Seite wurde ohne Zusatz irgendwelcher Konversationsstoffe erstellt ;-)