• ~ a_i bedeutet: nicht a_i oder a_i
• (a_i ↔ b_i) bedeutet:

1. Additionsschaltung

Der logische Ausdruck für die Ziffernaddition im Dualsystem lautet

S_i = ~ a_i b_i a_i ~ b_i =  ~ (a_i ↔ b_i)
Ü_i = a_i b_i

Dabei bedeutet S_i die „Summenziffer“ und Ü_i den Übertrag. Ein Übertrag aus der vorherigen Stelle wird dadurch verarbeitet, dass er zu S_i addiert wird.

Z_i = ~ S_i Ü_i-1 S_i ~ Ü_i-1 =  ~ (S_i ↔ Ü_i-1)
Ü_i = S_i Ü_i-1

Vergleicht man die letzten beiden Gleichungen mit den oberen, so stellt nun fest, dass die Operationen gleich sind und sich nur die Operanden geändert haben. Es genügt also, wenn das Rechenwerk diese Operationen Ausführen kann.
Als Operationen werden nur die drei Grundoperationen Negation, Konjunktion und Disjunktion benutzt. Diese muss man mit Hilfe von Relais und deren Kontakten darstellen. Dazu wird vereinbart, dass 1 durch Stromfluss, 0 aber durch keinen Stromfluss dargestellt wird.

a) Negation

Zur Herleitung der Schaltung soll hier ein Hilfsmittel aus der Kybernetik herangezogen werden, die „black-box". Darunter wird ein schwarzer Kasten verstanden, der Eingänge und Ausgänge besitzt. Man untersucht den Zusammenhang zwischen den Ein- und Ausgängen und versucht dann, auf den inneren Aufbau, auf die Struktur der „black-box" schließen.
Unsere black-box „Negation" besitzt nur einen Eingang a und den Ausgang ~ a. Der Zusammenhang ist:

aus a = 0 folgt ~ a = 1 und
aus a = 1 folgt ~ a = 0

Weiterhin wissen wir, dass sich im Inneren der black-box ein Relais mit seinen Kontakten befindet. Das Relais im Innern wird durch den Eingang gesteuert.

Relaisspule mit negiertem Arbeitskontakt

Da am Ausgang eine Spannung erscheinen soll, muss sich im Innern der black-box noch eine Spannungsquelle U befinden. Das Relais soll die Verbindung zwischen der Spannungsquelle U und dem Ausgang herstellen. Dabei soll dann Spannung am Ausgang erscheinen, wenn a = 0, das Relais also; abgefallen ist. Die Verbindung muss deshalb über einen Ruhekontakt des Relais gehen. Unsere black-box „Negation" kann also folgendes Aussehen haben:

Relaisspule mit negiertem Arbeitskontakt und Arbeitsspannung

Diese Lösung ist nur eine Lösung. Prinzipiell gibt es hierfür unendlich viele Lösungen. So erfüllen die folgenden Schaltungen ebenfalls die Forderungen der Negation.

Diese letzte Schaltung wird zum, Beispiel verwendet, wenn das untere Relais ein Schaltschütz ist, welches durch das obere Relais über eine größere Entfernung mittels Schwachstrom gesteuert werden soll.

b) Konjunktion

Die black-box „Konjunktion" besitzt zwei Eingänge und einen Ausgang. Beide Eingänge gehen wieder auf je ein Relais, welche mit ihren Kontakten die Verbindung zwischen Spannungsquelle und Ausgang herstellen.
Damit am Ausgang Spannung erscheint, müssen beide Eingänge gleich 1, also beide Relais angezogen sein.
Jedes Relais besitzt einen Arbeitskontakt, über den die Spannung genau dann zum Ausgang gelangt, wenn das Relais angezogen ist. Werden die beiden Kontakte hintereinandergeschaltet, so erfüllt diese Schaltung die Forderung der Konjunktion:

Logische Grundschaltung für das "AND" mittels Relaiskontakten

c) Disjuinkion

Die black-box „Disjunktion" besitzt ebenfalls zwei Eingänge und einen Ausgang. Diesmal soll schon dann Spannung am Ausgang erscheinen, wenn ein Eingang gleich L ist, also ein Relais angezogen ist. Jedes Relais schließt demnach über einem Arbeitskontakt die Spannungsquelle an den Ausgang, gleichgültig, ob das andere Relais angezogen ist oder nicht. Das bedeutet, dass die beiden Arbeitskontakte parallel geschaltet sind.
 

Logische Grundschaltung für das "OR" mittels Relaiskontakten

Allgemein kann man folgende Regeln formulieren:

1. Jede negierte Größe wird durch einen Ruhekontakt dargestellt.
2. Jede nicht negierte Größe wird durch einen Arbeitskontakt dargestellt.
3. Für die Darstellung der Konjunktion werden die entsprechenden Kontakte hintereinander geschaltet.
4. Für die Darstellung der Disjunktion werden die entsprechenden Kontakte parallel geschaltet.

d) Äquivalenz

In logischen Ausdrücken treten neben den drei Grundfunktionen häufig, auch die Äquivalenz und die Antivalenz auf. Deshalb sollen auch dafür die Schaltungen aufgeführt werden.
Der logische Ausdruck für die Äquivalenz lautet:

a ↔ b = a b (~ a   ~ b)

Für die Erarbeitung der Schaltung werden die vier obenstehenden Regent benutzt. Die Größe a kommt sowohl negiert als auch nicht negiert vor, ebenso die Größe b. Beide Relais müssen deshalb sowohl einen Arbeits- als auch einen Ruhekontakt besitzen.

Logisches Kontaktverhalten der "Äquivalenz" mittels zwei Schließ- und Öffner-Kontakten

Die beiden Arbeitskontakte müssen in Reihe geschaltet werden, da die nicht negierten Größen durch die Konjunktion verknüpft werden. Ebenso die Ruhekontakte. Damit ist die Schaltung im Prinzip fertig.

Logisches Kontaktverhalten der "Äquivalenz" mittels zwei Schließ- und Öffner-Kontakten - nun auch in Reihe geschalten

In der Relaistechnik ist es noch möglich, einen Arbeits- und einen Ruhekontakt, die einen Eingang gemeinsam haben, zu einem Wechselkontakt zu vereinen. Die endgültige Schaltung hat dann folgendes Aussehen:

Logisches Kontaktverhalten der "Äquivalenz" mittels zwei in Reihe geschaltenen Wechsler-Kontakten

e) Antivalanz

Der logische Ausdruck für die Antivalenz ist

~ (a ↔ b) = ~ a b  a   ~ b
Die Größen a und b kommen also sowohl negiert als auch nicht, negiert vor, die beiden Relais tragen deshalb einen Arbeits- und einen Ruhe. Untakt. Bei der Antivalenz wird aber immer eine negierte mit einer nicht negierten Größe durch Konjunktion verbunden. Das bedeutet, dass der Ruhekontakt des Relais a und der Arbeitskontakt des Relais b hintereinander geschaltet werden, ebenso der Arbeitskontakt des Relais a und der Ruhekontakt des Relais b. Diese beiden Kontaktreihen müssen dann parallel geschaltet werden, da die beiden Konjunktionen durch eine Disjunktion verknüpft werden.

Logisches Kontaktverhalten der "Äquivalenz" mittels zwei Relais mit jeweils einem Öffner sowie einem Schließ-Kontakt

manch hier kann man zwei Kontakte wieder zu einem Wechselkontakt zusammenfassen.

Logisches Kontaktverhalten der "Äquivalenz" mittels zwei Relais mit jeweils einem Öffner sowie einem Schließ-Kontakt

Der logische Ausdruck dieser Schaltung ist bekannt. Es ist

S = ~ (a ↔ b) und
Ü = a b

Diese black-box hat zwei Ein- und zwei Ausgänge. Die Schaltung setzt sich aus einer Antivalenz und einer Konjunktion zusammen.

Logisches Kontaktverhalten des "Halbaddierers" mit Übertrag

Diese Schaltung lässt sich noch etwas vereinfachen. Haben zwei Arbeits- oder zwei Ruhekontakte einen gemeinsamen Anschluss, so lassen sie sich oft, aber nicht immer zu einem Kontakt zusammenfassen. Auf jeden Fall soll man nach einem solchen Zusammenfassen die Schaltung experimentell prüfen.In unserem Fall bekommt dann die Gruppe folgendes Aussehen:

Logisches Kontaktverhalten des "Halbaddierers" mit Übertrag zusammen gefasst auf drei Relaiskontakte

Will man mehrstellige Zahlen addieren, so muss man den Übertrag Ü_i-1 aus der vorigen Stelle noch zu S_i addieren. Die Verknüpfung ist dabei genauso, das heißt, man kann die gleiche Schaltung benutzen.
Die Ü_i-Leitungen aus beiden Gruppen kann man direkt zusammenschalten, da sich die Überträge aus beiden Gruppen gegenseitig ausschließen. Um das zu beweisen, überlege man sich, wann die beiden Überträge auftreten können. Der Ausgang Z_i stellt die i-te Stelle im Ergebnis dar, während a_i und b_i die i-ten Stellen der beiden Summanden sind.
je Stelle der Summanden benötigt man zwei Gruppen, also vier Relais. Nur für die Addition der letzten Stelle wird eine Gruppe benötigt, da kein Übertrag verarbeitet zu werden braucht. Allgemein benötigt man also am Addition zweier n-stelliger Zahlen 4n - 2 Relais.

Logisches Kontaktverhalten des "Volladdierers" mit Übertrag

Man kann bei der Erarbeitung einer Additionsschaltung auch von einer back-box mit den Eingängen a_i, b_i und Ü_i-1 und den Ausgängen Z_i und Ü_i. auszugehen. Die Gleichungen für Z_i und Ü_i lassen sich leicht aus den Tabellen herleiten. Sie können lauten:

Z_i = ~ Ü_i-1  ~ (a_i ↔ b_i)  ~ Ü_i-1   (a_i ↔ b_i)
Ü_i = a_i b_i Ü_i-1   (a_i ↔ b_i)

Die entsprechende Schaltung ist:

Logisches Kontaktverhalten des "Volladdierers" mit Übertrag

Auch in dieser Schaltung kann man wieder mehrere Kontakte zusammenfassen. Das endgültige Schaltbild zeigt die folgende Abbildung.

Logisches Kontaktverhalten des "Volladdierers" mit Übertrag

Verwendet man andere Gleichungen für Z_i und Ü_i, so erhält man unter Umständen auch andere Schaltungen. Alle hier angeführten Schaltungen können nur Beispiele sein.
Verwendet man diese oder ähnliche Schaltungen, so benötigt man je Stelle drei Relais. Eine Ausnahme bildet wieder die letzte Stelle, da hier kein Übertrag addiert wird. In dieser Stelle wird die alte Schaltung mit, zwei Relais verwandt. Für die Addition zweier n-stelliger Zahlen werden nur noch 3n-1 Relais verwandt.
Die unter f und g gezeigten Schaltungen haben einige Nachteile. So sind der Aufwand groß und die Rechengeschwindigkeit klein. Die kleine Rechengeschwindigkeit entsteht dadurch, dass das Durchschleifen des Übertrages sehr lange dauert. Der neue Übertrag entsteht nämlich unter Umständen erst, wenn das Relais anzieht, an welches der Übertrag der vorigen Stelle gelangt. Im ungünstigsten Fall dauert eine Rechnung n-1 Anzugszeiten.

Bisher wurden alle Eingänge der black-box auf je ein Relais geleitet, und die Spannung an den Ausgängen kam aus einer Spannungsquelle im Inneren der black-box. Prinzipiell müsste es aber auch möglich sein, einen, Eingang selbst als Spannungsquelle zu benutzen und so ein Relais einzusparen. Zweckmäßig ist es, den Üi-1 Eingang dafür zu verwenden.
Sieht man sich die Gleichungen für Zi und Üi an, so stellt man fest, dass man neben Üi-1 auch ~ Üi-1 benötigt. Die black-box, erhält also noch