| 3.4. Kreisanschlusskonstruktionen |
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Letztmalig dran rumgefummelt: 25.02.16 08:48:50 |
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Manipulationen von Kreisen bzw. deren Tangentenbezüge - also die Anschlüsse sind die einfachsten und ältesten geometrischen Grundverfahren der geometrischen Konstruktionen am Kreis - wenden aber schon als Basiskonstrukt den Kreis selbst bzw. Kreisbögen sowie entsprechende Tangenten an. Technisch/mathematisch sind CAD-Systeme nichts weiter, als die konsequente Fortführung alter geometrischer Verfahren mit modernen Mitteln. | ||||||
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1. Kreisanschluss im Winkel mit
gegebenen Radius r 2. Zwei Geraden durch zwei Kreisbögen mit gegebenen Radius verbinden 3. Verbindung eines Punktes mit einem Kreisbogen bei gegebenem Radius 4. Kreisanschluss an eine Gerade bei gegebenem Radius 5. Anschluss eines Kreises an eine Gerade g durch einen gegebenen Punkt und Radius 6. Kreisanschluss zweier Kreise durch einen Kreisbogen 7. Anschluss zweier Kreise durch Tangente |
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| 1. Kreisanschlusskonstruktion im Winkel mit gegebenem Radius |
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Die Kreisperipherie soll genau zwischen den Schenkeln eines gegebenen Winkes zur Berührung gebracht werden. Konstruktionsprinzip sind die beiden Parallelen der Winkelschenkel im bekannten Abstand zum Radius. | |||
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um die entstandenen Einstichpunkte D und E tragen wir den Radius r nach innen ab | |||
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aus den Punkten errichten wir die Senkrechte zur Innenseite des Winkels hin und tragen durch die F und G die Parallelen der Winkelschenkel ab | |||
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aus dem Schnittpunkt der beiden Parallelen erhalten wir den künftigen Kreismittelpunkt und fällen aus eben diesem das Lot auf einen der beiden Winkelschenkel - dies ergibt Punkt H und einen der gesuchten Peripheriepunkte | |||
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ergo bilden MH den Radius des Kreises mit Peripheriepunkten auf den Winkelschenkeln | |||
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| 2. Zwei Geraden durch zwei Kreisbögen mit gegebenem Radius verbinden |
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Gearbeitet wird bei dieser Konstruktion mit nur zwei Bezugsgrößen, deren Verkettung zueinander allerdings schon komplex ist: Radius sowie sein Doppel und die beiden Geraden plus deren Parallelen. Beachte, dass im Extremfall die Parallelen sehr dicht an den jeweiligen Original-Geraden liegen können - also: nix verwechseln ;-) | |||
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Ziehe die Parallelen beider Geraden im Abstand r zum jeweiligen Original - von der unteren nach oben und von der oberen nach unten | |||
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errichte die Senkrechte aus Punkt P1 und bringe sie mit seiner Parallelen zum Schnitt - dies ergibt mit M1 den Einstichpunkt für den Ersten Kreisbogen | |||
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mit doppeltem Radius wird von M1 aus der Schnittpunkt auf der zweiten Geraden-Parallelen gesucht und erbringt den Einstichpunkt M2 | |||
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verbinde M1 und M2 miteinander - der Berührungspunkt der beiden späteren Kreisbögen ist der Wendepunkt im Anstieg so wir die Kreisbögen als mathematischen Funktionsgraphen auffassen | |||
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M1 sowie M2 sind die Einstichpunkte, r der Radius - zwei Kreisbögen werden bis zum Berührungspunkt geführt | |||
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Wir toppen das Leistungsanforderungsspektrum: Wiederum sind nur Radien und die Lage von Schnittpunkten interessant und für die Lösung relevant. Aber die Geraden liegen nicht mehr parallel zueinander. Gearbeitet wird bei dieser Konstruktion wiederum mit nur zwei Bezugsgrößen, deren Verkettung zueinander allerdings schon komplex ist: Radius sowie sein Doppel und die beiden Geraden plus deren Parallelen. Beachte, dass im Extremfall die Parallelen sehr dicht an den jeweiligen Original-Geraden liegen können - also: nix verwechseln ;-) | |||
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Ziehe die Parallelen beider Geraden im Abstand r zum jeweiligen Original - von der unteren nach oben und von der oberen nach unten | |||
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errichte die Senkrechte aus Punkt P1 und bringe sie mit seiner Parallelen zum Schnitt - dies ergibt mit M1 den Einstichpunkt für den Ersten Kreisbogen | |||
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mit doppeltem Radius wird von M1 aus der Schnittpunkt auf der zweiten Geraden-Parallelen gesucht und erbringt den Einstichpunkt M2 | |||
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verbinde M1 und M2 miteinander - der Berührungspunkt der beiden späteren Kreisbögen ist der Wendepunkt im Anstieg so wir die Kreisbögen als mathematischen Funktionsgraphen auffassen | |||
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M1 sowie M2 sind die Einstichpunkte, r der Radius - zwei Kreisbögen werden bis zum Berührungspunkt geführt |
| 3. Verbindung eines Punktes mit einem Kreisbogen bei gegebener Strecke |
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Wiederum sind nur Radien und die Lage von Schnittpunkten interessant und für die Lösung relevant. Da mit dem Abstand des Punktes zwei Radien gegeben sind, ein Lagepunkt bekannt ist, dessen Vorkommen auf der Fläche so gelegen sein muss, dass es einen Kreisanschluss überhaupt ermöglicht. | |||
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schlage einen Kreisbogen um M1 und durch A - die sich ergebende Strecke entspricht der Summe der beiden Radien - also des gegebenen sowie des gesuchten Zielkreises | |||
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aus Punkt a tragen wir den Radius r2 gegen den Kreisbogen aus Schritt ein ab und erhalten mit MM2 den Mittelpunkt des Anschlusskreises | |||
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die Verbindung von M1 und M2 ergibt den Tagentenanschlusspunkt und r2 den neuen Radius des Zielbogens ;-) | |||
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Da mit dem Abstand des Punktes zwei Radien gegeben sind, ein Lagepunkt bekannt ist, dessen Vorkommen auf der Fläche so gelegen sein muss, dass es einen Kreisanschluss überhaupt ermöglicht. | |||
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schlage einen Kreisbogen um M1 und durch A - die sich ergebende Strecke entspricht der Summe der beiden Radien - also des gegebenen sowie des gesuchten Zielkreises | |||
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aus Punkt a tragen wir den Radius r2 gegen den Kreisbogen aus Schritt ein ab und erhalten mit MM2 den Mittelpunkt des Anschlusskreises | |||
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die Verbindung von M1 und M2 ergibt den Tagentenanschlusspunkt und r2 den neuen Radius des Zielbogens ;-) | |||
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| 4. Anschluss eines Kreises an eine Gerade g durch Kreisbogen bei gegebenem Radius |
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Gegeben sind in diesem Falle der Kreis mit seinem Mittelpunkt sowie die Lage der zugehörigen Geraden und auch der Radius r2 des künftigen Kreisbogens. Folgerichtig ist in erster Instanz der Mittelpunkt des künftigen Anschlusskreisbogens zu bestimmen. | |||
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errichte in beliebigem Punkt das Lot auf der Geraden und trage auf der neuen Geraden den Radius r2 ab | |||
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im Abstand des gegebenen Radius ziehen wir eine Parallele zur gegebenen geraden | |||
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dazu: in beliebigem Punkt auf der Geraden das Lot errichten, anschließend auf dem Lot den Radius abtragen, Parallele durch den entstandenen Schnittpunkt führen | |||
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um den Kreismittelpunkt Kreisbogen mit Radius r1 + r2 ziehen - Schnittpunkt auf der Geraden-Parallele suchen - er ist der neue Mittelpunkt des Anschlusskreisbogens | |||
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schlage den Kreisbogen mit Mittelpunkt M2 und Radius r2 | |||
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| 5. Anschluss eines Kreises an eine Gerade durch gegebenen Punkt Radius |
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um den Punkt C wird ein Kreisbogen mit beliebigem Radius unter der Bedingung geschlagen, dass die Gerade g zwei mal geschnitten wird |
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dadurch entstehen die Schnittpunkte D sowie E |
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um die Punkte D und E wird wiederum ein Kreisbogen mit Radius r aus dem ersten Schritt geschlagen - es entsteht Schnittpunkt F |
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die Verbindung von C mit F ergibt das gewünschte Lot |
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| 6. Anschluss eines Kreises an einen weiteren Kreis durch Kreisbogen |
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Wesen der Gesamtkonstruktion ist, die Summen der durch die beiden Kreise gegebenen Radien zuzüglich des Radius des gewünschten Anschlussbogens zum Schnitt zu bringen. Dieser Schnittpunkt M3 wir dann mit Radius r3 zum Einstechpunkt für den gesuchten Anschlusskreisbogen. | |||
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schlage um M1 einen Kreisbogen mit r1 + r3 | |||
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schlage um M2 einen Kreisbogen mit r2 + r3 - der gemeinsame Schnittpunkt ergibt mit M3 den Einstechpunkt für den neuen Anschlusskreis | |||
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verbinde M1 mit M3 sowie M2 mit M3 - somit erhalten wir die wahren Berührungspunkte des Anschlusskreises | |||
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Kreisbogen zwischen den beiden neu gewonnen Berührungspunkten ziehen - fertsch! | |||
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| 7. Anschluss zweier Kreise durch Tangente |
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aus dem Mittelpunkt des kleineren Kreises heraus werden die Parallelen als Tangenten an beide Kreise herauskonstruiert. Wesentlicher Konstruktionsfaktor ist die Differenz der beiden gegebenen Radien. | |||
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wir bilden die Differenz der beiden Radien | |||
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der entstandene Radius r3 wird in dem größeren Kreis als Bogen auf dem Mittelpunkt abgetragen | |||
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beide Kreismittelpunkte werden verbunden und entstandene Strecke halbiert - anschließend durch beide Kreismittelpunkte der Bogen um die neu entstandene Mitte geschlagen | |||
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Schnittpunkte des neuen Hilfskreises mit dem Hilfskreis der Radiendifferenzen und den Mittelpunkt des kleineren Kreises verbinden | |||
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vom Mittelpunkt des größeren Kreises aus Linien durch diese Punkte und die Peripherie des größeren Kreises ziehen | |||
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von den Peripheriepunkten aus Parallelen zum kleiner Kreisbogen hin führen - dies sind bereits die gesuchten Tangenten | |||
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