Ob ich via Kanonische
Normalformen wirklich die kürzeste Gleichung erwischt habe bleibt so lange
in Frage, bis zu sämtlichen Kombinationen einschließlich ihrer Negationen
alle Ersetzungen durchprobiert worden sind. Anschließend werden die
de Morgan'schen Theoreme
zur Gelichungszusammenfassung eingesetzt. Hier genau setzen die Karnaugh-Veitch-Diagramme an - sie zeigen von vornherein, ob es überhaupt
eine Vereinfachung gibt - und wenn ja, gewinne ich sofort die optimierte
Gleichung (bzw. eine davon, was meistens der Fall ist - es gibt von
vornherein meist mehrere gleichwertige optimierte Lösungsvarianten).
Das Karnaugh-Diagramm (Karnaugh-Veitch-Diagramm, KV-Diagramm) enthält in
gedrängter Form die Informationen der Wertetabelle.
Das Karnaugh-Diagramm hat bei n Eingangsvariablen 2n Felder (Bilder
unten). In die Felder wird 1 eingetragen, wenn der UND-Term der
Eingangsvariablen den Wert 1 der Schaltfunktion liefert. Die anderen Felder
erhalten den Wert 0, wobei das entscheidende die hexdezimal gesplittete
Anordnung der Zielfelder sowie ihre logische Zusammenfassung ist.
Die Bestimmung der reduzierten Schaltfunktion ist bei mehr als zwei
Eingangsvariablen mit Hilfe des Karnaugh-Diagramms meist einfacher als mit
schaltalgebraischen Mitteln.
Die Übungsaufgabe in Sachen
Logik zur Abiturvorbereitung 2021 sollte auch einmal einen vollständigen
sowie komplexen Charakter haben. Die kanonische Normalform ist die
einfachste und zuverlässigste Lösung - allerdings auch die mit dem
garantiert höchsten Aufwand. Nur sehr wenige Logikvorgaben bieten keine
Möglichkeit, weiter zusammengefasst zu werden
Wie bereits erwähnt, kann man
aus den Grundelementen UND, ODER und NICHT jeden beliebigen anderen
logischen Ausdruck zusammenstellen. Wir haben des weiteren gesehen, wie man
aus einer beliebigen Wahrheitstafel zu einer logischen Funktion kommt.
Angesichts der doch relativ aufwendigen und vor allem fehleranfälligen
Methode der Vereinfachung mit Hilfe der Boole'schen Algebra stellt sich
jedoch die Frage, ob es nicht einfachere Methoden gibt, eine möglichst
kompakte logische Funktion zu bestimmen. Eine dieser Methoden beruht auf
einer graphischen Darstellung der Wahrheitstafel und heißt
Karnaugh-Veitch-Diagramm (KV-Diagramm).
Im KV-Diagramm wird die Wahrheitstafel nur in etwas veränderter Form
aufgetragen. Das Diagramm hat die Form eines Schachbrettes, wobei jedes Feld
des Schachbrettes eine hexadezimale Nummer trägt, die der Bitkombination der
Wahrheitstafel entspricht. Die Felder sind so angeordnet, dass sich jedes
benachbarte Feld nur durch jeweils eine Variable unterscheidet. Je nachdem,
wie viele Eingangsvariablen vorhanden sind, ist das KV-Diagramm
unterschiedlich groß. Die Grenzen für 2 bis 6 Eingangsvariablen sind in
folgender Abbildung mit stärkeren Linien markiert.
...
und weil ich das jedes Jahr neu lernen muss, habe ich mir gedacht: "...
schreiben wir's doch mal ganz detailliert mit Beispiel auf!" ...
los geht's:
... es geht nicht um die Zusammenfassung auf logisch "1" oder "0",
sondern um die Zusammenfassung möglichst großer Blöcke (welche sich
auch überlappen dürfen, wenn dies Änderungen an den Eingängen bringt)
die Karnaugh-Tafel muss für jeden Ausgang getrennt erstellt werden
je größer die Anzahl der gesuchten "Ausgangslogiken" Null oder
Eins - desto unwahrscheinlich ist es, das die Zusammenfassung mittels
Karnaugh-Tafeln eine wirkliche Einsparung bringen
wenn man nur wenig Glück hat, wird die "zu erbringende Last" der
Logik nur auf andere Logikelemente verschoben
hat man Pech, dann wird die Karnaugh-Zusammenfassung selbst im
optimalen Falle der der optimalen "Blockbildung" unter Umständen
größer, als eine der minimalen Kanonischen Normalformen sein
Analyse der Anzahl der logischen Signale am jeweiligen Ausgang
(Mehrheit "0" oder "1" entscheiden über das Verfahren
Eintragen der logischen Ausgänge in die Tafel mit der korrekten
Eingangszahl
sind die Zeilenzahlen Hex nummeriert, können die
Ausgangsbelegungen direkt eingetragen werden
anschließend Blockbildung - Ziel ist es, möglichst wenige, aber
dafür große Blöcke zu bilden Fehlerhafte Blockbildung wirkt sich nicht
auf das Ergebnis aus - die Schaltung wird nur unnötig größer
... bei der Blockbildung dürfen die
Begrenzungen der Quadranten nicht überschritten werden
(... ist schon prägend, wenn man den ersten bis zum letzten Schritt
mal "alleine" durchgeht und dabei bemerkt - Vorsicht - in den
Spielregeln steckt noch mehr, und wenn Du dies nicht beachtest, suchst
Du Dich dumm und dämlich - gegeben zum 18.4.2021 um 15.57
Uhr!!!
Blöcke werden immer in Vielfachen von 2 aufgebaut - (... ungerade
Blockanzahlen sind ergo nicht möglich!)
ausgelesen werden nur die Eingänge, welche sich innerhalb eines
Blockes nicht ändern!!!
bei Suche auf "1" werden diese in sich
UND-verknüpft und die entstehenden Minterme ODER verknüpft
bei Suche auf "0" werden diese in sich
UND-verknüpft und die entstehenden Minterme ODER verknüpft und der
gesamte Block im Ergebnis negiert
Resultierende
Karnaugh-Veitch-Tafel für 4-Eingangs-Logiken
(richtig seit 17.11.2012)
Jede Zusammenfassung im Karnaugh-Diagramm soll möglichst viele Felder
enthalten. Die Zahl der Zusammenfassungen soll möglichst klein sein.
Jede Zusammenfassung (Block) bildet ein Glied der gesuchten Schaltfunktion.
Die Variablen, die innerhalb des Blocks ihren Zahlenwert nicht ändern,
werden miteinander durch die UND-Funktion verknüpft. Die sich ergebenden
Terme der Blöcke verknüpft man durch die ODER-Funktion. Diese
schaltalgebraische Gleichung ist die reduzierte Schaltfunktion. Die
Zusammenfassung der Felder mit dem Wert 1 im Karnaugh-Diagramm liefert die
reduzierte Schaltfunktion für die Ausgangsvariable s. Überwiegen im Diagramm
die Felder mit dem Wert 1, so ist es zweckmäßig durch Blockbildung der
Felder mit dem Wert 0 den Wert s der Ausgangsvariablen zu ermitteln. Durch
nochmaliges Negieren von s erhält man dann den Wert s der Ausgangsvariablen.
wenn benachbarte Felder eine 1 enthalten, werden sie zusammengefasst
diese Zusammenfassung darf keine Nullen enthalten
die Zusammenfassungen müssen Rechtecke sein
die Gruppen dürfen sich überlappen
eine Gruppe darf nicht vollständig von einer anderen Gruppe
umschlossen werden
die Anzahl der Felder die man zusammenfasst, muss einer Potenz der
Zahl 2 entsprechen, also 1, 2, 4, 8, 16, ...
die Zusammenfassung kann auch über die Ränder des Diagramms
hinausgehen, also z.B. Feld 3 und 7, oder 6 und 14
alle zusammengehörenden Felder sollten
über jeweils eine 2-Eingangs-AND-Logik geschalten werden können (solange
die Eingangsanzahl kleiner 5 ist - Einzelfelder benötigen hier bereits
eine 3-Eingangs-AND-Logik
... hier ist die Lösung für 4er-Tafeln faktisch als Teilmenge
enthalten
Die Verbindung zwischen KV-Diagramm und Wahrheitstafel ergibt sich wie
folgt: Jede Eingangsvariable wird mit einem Buchstaben, beginnend mit a, von
rechts nach links benannt. Jede Zeile der Wahrheitstafel entspricht nun
jenem Feld des KV-Diagramms, dessen hexadezimale Nummer der Bitkombination
der Eingangsvariablen entspricht.
Karnaugh-Veich-Diagramm für maximal 6
Eingangsvariable (hier a bis f)
3.
Zusammenfassung via Quine/McClusky-Verfahren
Das Karnaugh-Veitch-Diagramm
ist primär nichts anderes, als eine andere (eigentlich sogar kürzere!)
Schreibweise der Wertetabelle einer logischen Funktion. Felder werden
eigentlich nur noch für die Ergebnisse der Funktion vorgesehen - und das
sind immer so viele, wie die Funktion maximale Schaltkombinationen hat.
Beispiel 1:
... irgendwie gegeben
Schaltbelegungstabelle (... eine Kombination von zufälligen
Minimaltermen (Mintermen))
Eingang d
x3 = 8
Eingang c
x2 = 4
Eingang b
x1= 2
Eingang a
x0 = 1
Ausgang y
HEX-Wert
0
0
0
1
1
01H
0
1
0
1
1
05H
1
0
1
1
1
0BH
1
1
1
0
1
0EH
alle übrigen
0
4.
Zusammenfassung nach Bool'schen Regeln sowie den de Morgan'schen Theoremen
Logik zusammenfassen geht
ganz klassisch mit den Regeln der Bool'schen Alegbra - gibt's für jeden
Studenten in der universitären Grundlagen-Mathematik gratis und ist dort gut
verhasst, weil die Hälfte der Bewerber seit Jahren genau daran scheitert.
5.
Schaltungstechnische Lösungen
Die kürzeste Schaltung,
welche die Eingangsbedingungen erfüllt soll nunmehr als Schaltplan
installiert werden. Dazu benötigt man Kenntnisse in den Grundlagen der
Elektronik sowie ein Minimum an Wissen zur Arbeitsweise logischer
Bauelemente.
Alternativ würde heute
niemand mehr derartigen Aufwand zur Realisierung selbst kleinerer Projekte
mit simplen Logikbauelementen projektieren - sowohl Entwicklung,
Leiterplattenfertigung, die Anzahl sowie die Menge Einzelbauelemente - und
letztendlich die Kosten würden jedem Endanwender raten: "... mach' das
irgendwie anders, aber nicht so!!!"
Hat schon diese Site viel mit Logik zu tun, so
kann's auf einer der folgenden damit noch happiger werden. Mich beeindruckt
dabei immer wieder, wie man unter dem unwissenden Volk (das bist Du, der Du
erarbeitend bis zu diesem Punkte gelangt bist, schon lange nicht mehr!) mit
den Wörtchen "und",
"oder"
und "nicht"
evtl. gespickt mit den Regeln der Schachtelung sowie Relationenalgebra Verwirrung stiften kann.Wer's nicht glaubt, löst die Aufgaben unter
dem dritten Verweis - aber bitte alle -
und das schnell ;-)
... dieser Text wurde nach den
Regeln irgendeiner Rechtschreibreform verfasst - ich hab' irgendwann einmal
beschlossen, an diesem Zirkus nicht mehr teilzunehemn ;-)
„Dieses Land braucht eine Steuerreform, dieses Land
braucht eine Rentenreform - wir schreiben Schiffahrt mit drei „f“!“
Diddi Hallervorden, dt. Komiker und Kabarettist
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wurde ohne Zusatz irgendwelcher Konversationsstoffe erstellt ;-)
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